Matrices et applications linéaires 2

Exercices corrigés sur le thème « Matrices et applications linéaires », posés aux concours (Polytechnique, Ens, Mines-Ponts, Centrale, Inp, Ensam, etc.)

Racines carrées d’une matrice

(Oral CCInp)
On détermine les racines carrées de

{A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\0 & 1 & 2 \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}}

➡️

Commutant de A quand A^2=0

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A\in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})}

non nulle telle que

{A^{2}=0}

.
Déterminer la dimension de

{\mathcal{C}_{A}=\{M\in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R}),\;AM=MA\}}

➡️

Connaissant AB, calculer BA

(Oral Centrale)
Soient

{A\in{\mathcal M}_{3,2}(\mathbb{R})}

{B\in{\mathcal M}_{2,3}(\mathbb{R})}

.
On suppose que

{AB =\begin{pmatrix}0&-1&-1\\-1&0&-1\\1&1&2\end{pmatrix}}

.
Calculer

{BA}

➡️

Polynômes dérivés successifs

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{(a_{0},a_{1},\ldots,a_{n})\in\mathbb{C}^{n+1}}

. À quelle condition a-t-on:

{\forall Q\in\mathbb{C}_{n}[X],\;\exists P\in\mathbb{C}_{n}[X],\;Q=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}P^{(k)}}

➡️

Déterminant et trace de la transposition

(Oral Mines-Ponts 2018)
Déterminant et trace de

{u\in\mathcal{L}(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}))}

défini par

{u(M)=M^{T}}

➡️

Formes linéaires coordonnées

Exercices sur le thème « formes linéaires »

➡️

Matrice de projecteur

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{A\in{\mathcal M}_{3,2}(\mathbb{R})}

{B\in{\mathcal M}_{2,3}(\mathbb{R})}

.
On suppose que

{AB=\small\begin{pmatrix}0&-1&x\\-1&0&y\\-1&-1&z\end{pmatrix}}

.
Déterminer

{(x,y,z)}

pour que

{AB}

soit la matrice d’un projecteur.
Dans ce cas, déterminer

{BA}

➡️