Espaces vectoriels 2

Exercices corrigés sur le thème « Espaces vectoriels », posés aux concours (Polytechnique, Ens, Mines-Ponts, Centrale, Inp, Ensam, etc.)

Une récurrence linéaire d’ordre 3

(Oral Ccp)
Étude des suites de

\mathbb{C}^{\mathbb{N}}

telles que

\forall\, n\in\mathbb{N},\;4u_{n+3}=3u_{n+2}+6u_{n+1}+4u_{n}

(Oral Ccp)
Montrer que les

{P_k=X^k(1-X)^{n-k}}

(avec

{0\le k\le n}

) forment une base de

{\mathbb{R}_n[X]}

.
Exprimer

{1,X,\cdots ,X^n}

dans cette base.

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{E}

{\mathbb{K}}

-espace vectoriel de dimension

{n\in\mathbb{N}^{*}}

. Soit

{(e_{k})_{1\le k\le n}}

dans

{E}

.
Soit

{\varphi\colon{\mathcal L}(E)\rightarrow E^{n}}

défini par

{\varphi(u)=(u(e_{1}),\ldots,u(e_{n}))}

. Montrer que

{\varphi}

est linéaire, et que c’est un isomorphisme si et seulement si

{(e_{k})_{1\le k\le n}}

est une base de

{E}

(Oral Centrale & Ccp)
Montrer que deux sous-espaces d’un espace

E

de dimension finie ont la même dimension si et seulement si ils admettent un supplémentaire commun.

(Oral Centrale)
On définit les polynômes

{P_k=(X-a)^k (X-b)^{n-k}}

, où

{a\ne b,\; 0\le k\le n}

.
Montrer qu’ils forment une base de

{\mathbb{C}_n[X]}

(Oral Centrale)
Soient

{f,g\in\mathcal{L}(E)}

, avec

\dim(E)\lt+\infty

{E=\text{Im} f+\text{Im} g=\text{Ker} f+\text{Ker} g}

.
Montrer que les deux sommes sont directes.