Calcul du rang d'une matrice

Plan du chapitre "Matrices et applications linéaires"

Matrices échelonnées

Soit ${A=(a_{ij})}$ une matrice de ${\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})}$ . On note ${\text{L}_1,\ldots,\text{L}_n}$ les lignes successives de ${A}$ .
Pour chaque ligne ${\text{L}_i}$ de ${A}$ , soit ${d(i)}$ le plus petit indice ${j}$ , s’il existe, tel que ${a_{ij}\ne0}$ .
On dit que ${A}$ est échelonnée supérieurement s’il existe un entier ${r}$ de ${\{0,\ldots,n\}}$ tel que :

pour tout indice ${i}$ inférieur ou égal à ${r}$ , la ligne ${\text{L}_i}$ est non nulle.
pour tout indice ${i}$ strictement supérieur à ${r}$ , la ligne ${\text{L}_i}$ est nulle.
la suite ${d(1),d(2),\ldots,d(r)}$ est strictement croissante.

Proposition (rang d'une matrice échelonnée)
Avec les notations précédentes, la matrice échelonnée

{A}

est de rang

{r}

.
Les

{r}

coefficients non nuls situés aux positions

{(i,d(i))}

sont appelés les pivots de

{A}

Ainsi ${A=\begin{pmatrix}0&1&3&4&0&1&5\cr 0&0&3&5&1&0&0\cr 0&0&0&0&4&1&2\cr 0&0&0&0&0&9&1\cr 0&0&0&0&0&0&0\end{pmatrix}}$ est échelonnée (quatre pivots) donc ${\text{rg}(A)=4}$ .

La matrice nulle de ${\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})}$ est un cas particulier de matrice échelonnée (avec zéro pivot!).

On définit comme précédemment les matrices « échelonnées inférieurement ». En fait une matrice ${A}$ est échelonnée inférieurement si et seulement si sa transposée est échelonnée supérieurement.

Opérations élémentaires

Définition (opérations élémentaires sur les lignes d'une matrice)
Soit

{A}

une matrice de

{\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})}

. Notons

{\text{L}_1,\text{L}_2,\ldots,\text{L}_n}

les lignes de

{A}

.
On appelle opération élémentaire sur les lignes de

{A}

l’une des opérations suivantes :

multiplier une ligne ${\text{L}_i}$ par un scalaire non nul ${\alpha}$ : on note ${\text{L}_i\leftarrow\alpha\text{L}_i}$ .
ajouter à ${\text{L}_i}$ un multiple d’une autre ligne ${\text{L}_j}$ : on note ${\text{L}_i\leftarrow \text{L}_i+\beta \text{L}_j}$ .
échanger deux lignes ${\text{L}_i}$ et ${\text{L}_j}$ : on note ${\text{L}_i\leftrightarrow \text{L}_j}$ .

On définit de même les opérations élémentaires sur les colonnes de la matrice ${A}$ .

Elles sont notées : ${\text{C}_i\leftarrow\alpha \text{C}_i}$ (avec ${\alpha\ne0}$ ), ${\text{C}_i\leftarrow \text{C}_i+\beta \text{C}_j}$ (avec ${j\ne i}$ ), et ${\text{C}_i\leftrightarrow \text{C}_j}$ .

${\vartriangleright}$ Nécessiter d’utiliser un pivot non nul

Dans les opérations ${\text{L}_i\leftarrow\alpha\text{L}_i}$ et ${\text{C}_i\leftarrow\alpha \text{C}_i}$ , on dit que ${\alpha}$ joue le rôle de « pivot ».
Dans ces deux opérations il est absolument indispensable que ${\alpha}$ soit non nul.

On fera notamment attention au cas où ${\alpha}$ dépend d’un paramètre : pour les valeurs de ce paramètre qui annuleraient ${\alpha}$ , l’opération se traduirait par ${\text{L}_i\leftarrow0}$ ou ${\text{C}_i\leftarrow0}$ et serait « illégale. »

On note ${\text{L}_i\leftarrow\alpha\text{L}_i+\beta\text{L}_j}$ la composée de ${\text{L}_i\leftarrow\alpha\text{L}_i}$ (où ${\alpha\ne0}$ ) puis de ${\text{L}_i\leftarrow\text{L}_i+\beta\text{L}_j}$ .

${\vartriangleright}$ Interprétation matricielle des opérations élémentaires sur les lignes

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Matrices échelonnées

Opérations élémentaires

{\vartriangleright} Nécessiter d’utiliser un pivot non nul

{\vartriangleright} Interprétation matricielle des opérations élémentaires sur les lignes

${\vartriangleright}$ Nécessiter d’utiliser un pivot non nul

${\vartriangleright}$ Interprétation matricielle des opérations élémentaires sur les lignes