Séries numériques (3/3)

Soit {(a_{n})_{n\ge0}} une suite de nombres réels ou complexes.
Soit {x} une variable réelle.
On dit que la série numérique {\displaystyle\sum a_{n}x^{n}} est une série entière de coefficients {a_{n}}.
La fonction {x\mapsto S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}x^{n}} est appelée somme de la série entière.

Remarque : la fonction {S} est toujours définie au moins en {0}, et on a {S(0)=a_{0}}.

• La série entière {\displaystyle\sum x^{n}} est définie sur {]-1,1[} et sa somme est {\dfrac{1}{1-x}}.
• {\displaystyle\sum \dfrac{x^{n}}{n!}} est définie sur {\mathbb{R}} et sa somme est {\text{e}^{x}}.
• La série entière {\displaystyle\sum n!\,x^{n}} n’est définie qu’en {x=0}.

Soit {(a_n)_{n\ge0}} une suite de nombres réels ou complexes.

L’ensemble {\{\rho\in\mathbb{R}^{+},\;(\left|a_{n}\right|\rho^n)_{n\ge0}\text{\ est bornée}\}} est non vide (il contient {0}).

Sa borne supérieure {R} dans {\overline{\mathbb{R}}} est appelée rayon de convergence de la série entière {\displaystyle\sum a_n\,x^n}.

Soit {\displaystyle\sum a_n\,x^n} une série entière de rayon de convergence {R} (où {R} est dans {\mathbb{R}^{+}\cup\{+\infty\}}).

• {\displaystyle\sum a_n\,x^n} converge absolument pour {\left|x\right|\lt R}.
• {\displaystyle\sum a_n\,x^n} diverge grossièrement pour {\left|x\right|>R}.

On dit que {]-R,R\,[} est l’intervalle ouvert de convergence de la série entière {\displaystyle\sum a_n\,x^n}.

• Si {R=0}, l’intervalle ouvert de convergence est vide (ça ne présente que peu d’intérêt).
• Si {R>0}, la somme {S(x)=\displaystyle\sum a_n\,x^n} est donc définie sur {]-R,R\,[}.

  Il est possible que la série diverge ou converge en {x=-R} ou/et en {x=R} (c’est-à-dire sur le bord de l’intervalle ouvert), mais on ne peut rien dire de général (et ça n’est pas important).

• On ne change pas le rayon de convergence de {\displaystyle\sum a_nx^n} en modifiant un nombre fini de coefficients {a_n} (en revanche, on modifie très certainement la somme de cette série entière).

  On considère parfois (souvent) des séries entières {\displaystyle\sum a_{n}x^{n}} dont le terme général n’est défini qu’à partir d’un certain rang {n_{0}}. On notera alors {\displaystyle\sum_{n\ge n_{0}}a_{n}x^{n}}.

• Les séries entières {\displaystyle\sum a_nx^n}, {\displaystyle\sum(-1)^na_nx^n} ou {\displaystyle\sum\left|a_{n}\right|x^n} ont le même rayon de convergence (ça vient de la définition du rayon de convergence où n’intervient en fait que le module des {a_{n}}).