Séries numériques (1/3)

Soit {(u_n)_{n\ge0}} une suite d’éléments de {\mathbb{K}}.
Soit {N} un entier naturel.
La quantité {S_N=\displaystyle\sum_{n=0}^Nu_n} est appelée somme partielle d’indice {N} de la série {\displaystyle\sum u_n}.
Avec les notations précédentes, on a {u_0=S_0} et, {\forall n\in\mathbb{N}^*, u_n=S_n-S_{n-1}}.

La suite {(u_n)_{n\ge0}} est donc à son tour déterminée par la donnée des sommes partielles {(S_n)_{n\ge0}}.

Soit {(u_n)_{n\ge0}} une suite de {\mathbb{K}}.
On dit que la série {\displaystyle\sum u_n} est convergente si la suite {(S_N)} de ses sommes partielles est convergente.
Sinon on dit que la série {\displaystyle\sum_{n\ge0}u_n} est divergente.

Soit {\displaystyle\sum u_n} une série convergente.
La quantité {\displaystyle\lim_{N\to\infty}S_N} est notée {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}u_n} et est appelée somme de la série {\displaystyle\sum u_n}.

L’unicité de la limite implique l’unicité de la somme d’une série convergente.

Déterminer la nature d’une série, c’est dire si elle est convergente ou divergente.

C’est ensuite un autre problème que de calculer la somme en cas de convergence.

Parfois les deux problèmes peuvent être traités simultanément, mais l’énoncé pourra demander de prouver d’abord la convergence, puis de calculer la somme.

Enfin il est fréquent qu’on puisse prouver la convergence d’une série sans pouvoir en calculer la somme.

On ne modifie pas la nature de la série {\displaystyle\sum u_n} en changeant la valeur d’un nombre fini des {u_n}.

En revanche, en cas convergence, on a toutes les chances de modifier la somme de la série.

Si la suite {(u_n)} n’est définie que pour {n\ge k}, on adapte facilement les définitions précédentes, et en cas de convergence, la somme de la série est notée {\displaystyle\sum_{n=k}^{+\infty}u_n}.

Soit {\displaystyle\sum_{n\ge0}u_n} une série de {\mathbb{K}}, convergente, de somme {S}. Soit {N} un entier naturel.
On appelle reste d’ordre {N} de cette série, la quantité {R_N=S-S_N=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}u_n-\displaystyle\sum_{n=0}^{N}u_n=\displaystyle\sum_{n=N+1}^{+\infty}u_n}

Par définition de la convergence d’une série, on a {\displaystyle\lim_{N\to\infty}R_N=0}.

Mais attention : on ne doit pas dire qu’une série est convergente {\Leftrightarrow} son reste d’indice {N} tend vers {0}, car l’existence même de ce reste suppose déjà que la série converge.