Techniques d’analyse (6/6)

L’étude d’une fonction numérique {f} consiste en général en les étapes suivantes :

• Préciser le domaine de définition {\mathcal{D}} et la dérivabilité de {f}.
• Si {f} est périodique, ou si on devine un axe ou un centre de symétrie (du fait notamment de la parité ou de l’imparité de {f}), on en profite pour réduire « le domaine d’étude ».
  Si on ne devine rien, il est prudent de dire « pas de réduction évidente du domaine d’étude ».
• Étudier le sens de variation de {f}, et dresser le tableau de variations.
  On pourra compléter ce tableau par les « limites aux bornes du domaine ».
• Effectuer les études locales pour une compréhension fine du comportement de {f} en certains points : ceux par exemple où la dérivabilité de {f} pose problème, ou encore les branches infinies.
• Tracer soigneusement la courbe représentative.

Nous allons maintenant revenir en détail sur quelques-unes de ces étapes.

On commence toujours par préciser le domaine de définition {\mathcal{D}} de {f}.

Il s’agit en général d’un intervalle, ou d’une réunion d’intervalles.

On indique ensuite sur quelle partie de ce domaine on peut appliquer les résultats généraux portant sur les opérations entre fonctions usuelles, et donc conclure à la continuité et/ou à la dérivabilité de {f}.

On est d’ailleurs souvent amené à affirmer directement que {f} est indéfiniment dérivable sur son domaine (ou sur une partie de celui-ci) en vertu de ces mêmes résultats.

À ce stade, il est possible que certains points isolés « posent problème » (on ne peut appliquer les résultats généraux). Cela ne veut pas dire, pour autant, que {f} ne sera pas dérivable en ces points, et il conviendra de répondre (plus tard) à cette question par des « études locales ».

Connaissant le domaine de définition {\mathcal{D}} de {f}, on détermine le domaine d’étude {\mathcal{D}_e} de {f}, c’est-à-dire la partie de {\mathcal{D}} sur laquelle il suffit d’étudier {f} pour connaître son comportement global.

C’est ici le moment d’indiquer si la fonction {f} est {T}-périodique (ce qui permet de réduire l’étude à un intervalle de longueur {T}), et si elle est paire ou impaire (pour se limiter alors à {x\ge0}).

Plus exceptionnellement, il se peut que {f} vérifie des égalités {f(2a-x)=f(x)} (axe de symétrie {x=a}) ou {f(2a-x)=-f(x)} (centre de symétrie {(a,0)}) ou {f(2a-x)=2b-f(x)} (centre de symétrie {(a,b)}). Dans ce cas, on limite l’étude à {x\ge a} (ou à {x\le a}).

Il arrive parfois que {f} soit à la fois paire (ou impaire) et {T}-périodique, auquel cas on pourra se contenter de l’étude de {f} sur une demi-période (souvent l’intervalle {[0,T/2]}).

Si {T} est une période de {f}, on vérifiera qu’elle est la « plus petite période » (essayer {T/2} par exemple).

Il arrive parfois que si {T} est une période {f}, on ait {f(x+T/2)=-f(x)}, ou {f(T-x)=f(x)}. L’étude peut alors être réduite à un intervalle de longueur {T/2}.

Connaissant le domaine d’étude {\mathcal{D}_e} de {f}, on examine le sens de variations de {f}.

Cela consiste à dire, intervalle par intervalle, si {f} est croissante ou décroissante, et à signaler les extremums relatifs (on dit aussi locaux) ou absolus (on dit aussi globaux).

L’étude du sens de variation de {f} passe souvent par le signe de {f'}, mais il arrive parfois qu’on puisse conclure par des résultats généraux sur les opérations entre fonctions monotones usuelles.

Il arrive aussi que l’étude du signe de {f'} ne soit pas particulièrement facile : dans certains cas, on est amené à étudier les variations de {f''}, ou à étudier une fonction auxiliaire.

Le tableau des variations, soigné, doit indiquer clairement les intervalles formant le domaine d’étude.

On apportera un intérêt particulier aux frontières de ces intervalles, ainsi qu’aux points qui présentent un intérêt certain (notamment ceux où {f} possède un maximum ou un minimum local).

On signalera par exemple les intersections du graphe {(\Gamma)} de {f} avec les axes (et en particulier avec {Ox} : il s’agit alors d’indiquer pour quelles valeurs de {x} la fonction {f} s’annule).

Le tableau de variation contient en général une ligne pour le signe de {f'}, mais on peut être amené à utiliser une ligne supplémentaire pour le signe de {f''} : c’est l’occasion de préciser la concavité de {f}, et ses éventuels points d’inflexion.