Somme de sous-espaces vectoriels

Plan du chapitre "Espaces vectoriels"

Soit ${F}$ et ${G}$ deux sous-espaces de ${E}$ . On sait que ${F\cap G}$ est un sous-espace de ${E}$ .

En revanche ${H=F\cup G}$ n’est pas un sous-espace de ${E}$ , sauf si ${F\subset G}$ ou ${G\subset F}$ .

Définition (somme de deux sous-espaces vectoriels)
Soit

{E}

un espace vectoriel sur

{\mathbb{K}}

. Soit

{F}

{G}

deux sous-espaces de

{E}

.
On pose

{F+G=\{u+v,u\in F,v\in G\}}

.
On dit que

{F+G}

est la somme des deux sous-espaces

{F}

{G}

Proposition (une caractérisation de la somme de deux sous-espaces vectoriels)
Avec les notations précédentes,

{F+G}

est un sous-espace vectoriel de

{E}

.
Plus précisément,

{F+G=\text{Vect}(F\cup G)}

, le plus petit sous-espace de

{E}

contenant

{F}

{G}

Définition (somme directe de deux sous-espaces vectoriels)
Soit

{E}

un espace vectoriel sur

{\mathbb{K}}

. Soit

{F}

{G}

deux sous-espaces de

{E}

.
Les conditions suivantes sont équivalentes :

tout vecteur ${w}$ de ${F+G}$ s’écrit de façon unique ${w=u+v}$ , avec ${u\in F}$ et ${v\in G}$ .
pour tout ${u\in F}$ et tout ${v\in G}$ , on a l’implication : ${u+v=0\Rightarrow u=v=0}$ .
l’intersection ${F\cap G}$ est réduite à ${\{0\}}$ .

Si elles sont réalisées, on dit que ${F}$ et ${G}$ sont en somme directe, et ${F+G}$ est notée ${F\oplus G}$ .

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