Exercice (oral Centrale/Supélec)
On pose {\begin{cases}a_{1}=0\cr b_{1}=2\end{cases}} et, pour tout {n\ge2}: {a_{n}=\sqrt{\dfrac{1+a_{n-1}}{2}}\;\text{et}\;b_{n}=\dfrac{b_{n-1}}{a_{n}}}On définit ainsi deux suites {(a_{n})_{n\ge1}} et {(b_{n})_{n\ge1}} de réels strictement positifs.
| Question 1.a Montrer qu’il existe une suite {(\,\theta_{n})_{n\ge1}} de {\Bigl[0,\dfrac\pi2\Bigr]} telle que {a_{n}=\cos\,\theta_{n}} pour tout {n\ge1}. |
| Question 1.b Montrer qu’il existe une suite {(\lambda_{n})_{n\ge1}} telle que {b_{n}=\lambda_{n}\sin\,\theta_{n}} pour tout {n\ge1}. En déduire la limite {\ell} de la suite {(b_{n})_{n\ge1}}. |
| Question 1.c Montrer que : {\forall\,n\ge1,\;\left|b_{n}-\ell\right|\le\dfrac{\pi^3}{6}\,4^{-n}} |
Pour tout {n\ge1}, on pose : {c_{n}=u\,b_{n} +v\,b_{n+1}+w\,b_{n+2}}avec {(u,v,w)\in\mathbb{R}^3}
| Question 2 Déterminer les réels {\alpha,\beta,\gamma} pour qu’on ait {c_{n}=\pi+\text{o}\Bigl(\dfrac{1}{64^n}\Bigr)} quand {n\to\infty}. Avec ces valeurs de {u,v,w} donner un équivalent de {c_{n}-\pi} quand {n\to\infty}. |