Calcul différentiel
Exercices corrigés de calcul différentiel pour Mpsi Pcsi, et pour Spé Mp, Pc, Psi posés aux concours Polytechnique, Ens, Mines, Centrale, Ccp, etc.

Minimum d’une forme quadratique

(Oral X-Cachan Psi)
On se donne un produit scalaire sur

\mathbb{R}^n

, un vecteur

v

\mathbb{R}^n

, une matrice

A

\mathcal{M}_n(\mathbb{R)}

, et

f\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}

définie par

{f(X)=\dfrac{1}{2}\left\|D_{1}X\right\|^{2}-\left(V\mid X\right)}

.
On montre que

f

possède un minimum absolu sur

\mathbb{R}^n

et en on calcule la valeur.

(Oral X-Cachan Psi)
Soit

{A_{\lambda}=\Big\{x\in(\mathbb{R}^{+*})^{n},\; \displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}=n\lambda\Big\}}

.
Soit

{f\colon A_{\lambda} \rightarrow\mathbb{R},\; x\mapsto \displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}\ln(x_{i})}

.
On étudie les extrema de

f

sur

A_{\lambda}

(Oral X-Cachan Psi)
Soit

{u_{0}\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}}

une fonction de classe

{{\mathcal C}^{1}}

.
On cherche les fonctions

{u}

de classe

{{\mathcal C}^{2}}

telles que :

{\dfrac{\partial u}{\partial t} + 2tx\dfrac{\partial u}{\partial x} = 0\ \text{et}\ u(0,x) = u_{0}(x)}

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{f}

définie sur

\mathbb{R}^2

par

{f(x,y) =\dfrac{x^{4}y}{x^{4}+y^{2}}}

{(x,y)\ne (0,0)}

, et

{f(0,0) = 0}

.
La fonction

{f}

est-elle de classe

{{\mathcal C}^{1}}

(Oral Mines-Ponts Psi)
Préciser les extremums sur

{\mathbb{R}^{3}}

{f(x,y,z)=x^{2}\!+\!y^{2}\!+\!z^{2}\!- \!2xyz}