Suites extraites

Plan du chapitre "Suites numériques"

Notion de suite extraite

Définition
Soit {(u_n)_{n\ge0}} une suite d’un ensemble {E} quelconque.
On appelle suite extraite de {u} toute suite {v} de terme général {v_n=u_{\varphi(n)}}, où {\varphi} est strictement croissante de {\mathbb{N}} dans lui-même.

Rappel : avec les notations de l’énoncé, et pour tout entier {n}, on a l’inégalité {\varphi(n)\ge n}.

On considère souvent :

  • la suite {(u_{2n})_{n\ge0}} des termes d’indices pairs : ici {\varphi(n)=2n}
  • la suite {(u_{2n+1})_{n\ge0}} des termes d’indices impairs : ici {\varphi(n)=2n+1}.

On utilise aussi l’expression « sous-suite de {u} » pour désigner une suite extraite de {u}.

Sous-suite d’une sous-suite

Soit {u=(u_n)_{n\ge0}} une suite d’un ensemble {E} quelconque.

Soit {v=(v_{n})_{n\ge 0}} une suite extraite de {u}, et soit {w=(w_{n})_{n\ge 0}} une suite extraite de {v}.
Alors {w} est une suite extraite de la suite {u}.

Ce résultat peut sembler évident, mais il y a quand même une subtilité.

Plus précisément, si {\varphi} et {\psi} sont deux applications strictement croissantes de {\mathbb{N}} dans lui-même telles que {v_{m}=u_{\varphi(m)}} et {w_{n}=v_{\psi(n)}} pour tous entiers naturels {m,n}, alors (en posant {m=\psi(n)}), et pour tout {n\in \mathbb{N}} :
{\begin{array}{l}w_{n}=v_{m}=u_{\varphi(m)}=u_{\varphi(\psi(n))}=u_{\,\theta(n)}\\[9pts]\text{\ avec\ }\theta=\varphi\circ\psi\text{\ (et non pas\ }\psi\circ\varphi\text{!!)}\end{array}}

Limites et suites extraites

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