Puissances à exposants entiers ou rationnels

Plan du chapitre "Techniques d'analyse"

Exposants entiers relatifs

Pour tout ${x}$ de ${\mathbb{C}}$ et tout ${n}$ de ${\mathbb{N}}$ , on définit par récurrence les puissances ${x^n}$ :
${\begin{cases}x^0=1\cr \forall\, n\in \mathbb{N},\;x^{n+1}=x^n\,x\end{cases}}$
Ainsi : ${\forall\, n\in\mathbb{N},\,1^n=1}$ , et ${\forall\, n\in\mathbb{N}^*,\,0^n=0}$ .
Pour tout ${x}$ non nul, et pour tout entier ${n\lt 0}$ , on pose ${x^n=(x^{-n})^{-1}}$ .
On connait donc le sens de ${x^n}$ , pour tout ${x}$ de ${\mathbb{C}}$ et tout ${n}$ de ${\mathbb{Z}}$ (avec ${x\ne0}$ si ${n\lt 0}$ ).

Proposition (propriétés des exposants relatifs)
Pour tous

{x,y}

{\mathbb{C}}

, pour tous

{n,p}

{\mathbb{Z}}

(sous réserve d’existence en cas d’exposants négatifs) :

{\begin{array}{c}(xy)^n=x^n\,y^n,\ x^n\,x^p=x^{n+p},\ (x^n)^p=x^{np}\\[9pts]\dfrac1{x^n}=x^{-n},\ \dfrac{x^n}{x^p}=x^{n-p}\end{array}}

On en vient aux variations de

{x\mapsto x^{m}}

sur

{\mathbb{R}}

(si

{m}

est dans

{\mathbb{N}}

) ou sur

{\mathbb{R}^{*}}

(si

{m}

est dans

{\mathbb{Z}^{-*}}

L’application ${x\to x^m}$ est paire si ${m}$ est pair, et impaire si ${m}$ est impair.

Sur ${\mathbb{R}^{+*}}$ , elle est ${\begin{cases}\text{strictement croissante si\ }m>0\cr\text{strictement décroissante si\ }m\lt 0\cr\text{constante (valeur 1) si\ }m=0\end{cases}}$

Le tableau ci-après indique ce que devient l’inégalité ${x\lt y}$ par élévation à la puissance ${m-}$ ième.

{\begin{array}{|c||c|c|}~ & m>0, \text{pair}& m>0, \text{impair}\\[3pts]\hline\vphantom{\Big(} 0\lt x\lt y\Rightarrow & 0\lt x^m\lt y^m & 0\lt x^m\lt y^m \\[9pts] x\lt y\lt 0\Rightarrow & 0\lt y^m\lt x^m & x^m\lt y^m\lt 0\end{array}}

{\begin{array}{|c||c|c|}~ &~m\lt 0, \text{pair}&~m\lt 0,\text{impair}\\[3pts]\hline\vphantom{\Big(} 0\lt x\lt y\Rightarrow & 0\lt y^m\lt x^m & 0\lt y^m\lt x^m\\[9pts] x\lt y\lt 0\Rightarrow & 0\lt x^m\lt y^m & y^m\lt x^m\lt 0\end{array}}

Racine ${n}$ -ième d’un réel positif

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Racine {n}-ième d’un réel positif

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