Fonctions usuelles

Plan du chapitre "Techniques d'analyse"

Définition (fonction exponentielle)
Il existe une fonction unique

{x\mapsto y(x)}

, dérivable sur

{\mathbb{R}}

, et telle que :

{\begin{cases}\forall\, x\in\mathbb{R},\;y'(x)=y(x)\cr y(0)=1\end{cases}}

On l’appelle la fonction exponentielle, et on la note

{x\mapsto \exp(x)}

Définition
La fonction

{x\mapsto\exp(x)}

est une bijection strictement croissante de

{\mathbb{R}}

sur

{\mathbb{R}^{+*}}

.
Sa bijection réciproque, de

{\mathbb{R}^{+*}}

sur

{\mathbb{R}}

, appelée fonction logarithme népérien, est notée

{x\mapsto \ln x}

Par définition, on a l’équivalence : ${\begin{cases}y=\exp(x)\cr x\in\mathbb{R}\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=\ln(y)\cr y>0\end{cases}}$
La fonction ${x\mapsto\exp(x)}$ est indéfiniment dérivable sur ${\mathbb{R}}$ et : ${\forall\, n\in\mathbb{N},\;\exp^{(n)}=\exp}$ .
La fonction ${x\mapsto\ln(x)}$ est définie sur ${\mathbb{R}^{+*}}$ par: ${\forall\, x>0,\;\ln'(x)=\dfrac1x}$ et ${\ln(1)=0}$ .
La fonction ${x\mapsto\ln(x)}$ est strictement croissante et indéfiniment dérivable sur ${\mathbb{R}^{+*}}$ .
On note $\text{e}$ l’unique réel strictement positif tel que ${\ln(e)=1}$ . On a : ${\text{e}\approx2.718281828}$ .
Le logarithme népérien est l’unique primitive sur ${\mathbb{R}^{+*}}$ , s’annulant en ${x=1}$ , de la fonction ${x\mapsto\dfrac1x}$ .
En d’autres termes : ${\forall x>0,\; \ln(x)=\displaystyle\int_1^x\dfrac{\,\text{d}t}t}$ .
La fonction ${x\mapsto\exp(x)}$ est convexe sur ${\mathbb{R}}$ (sa dérivée seconde est ${\exp(x)>0}$ ).

Pour tout ${x}$ de ${\mathbb{R}}$ , on a l’inégalité ${\exp(x)\ge1+x}$ (avec égalité ${\Leftrightarrow x=0}$ ).
La fonction ${x\mapsto\ln(x)}$ est concave (sa dérivée seconde est ${-\dfrac1{x^2}\lt 0}$ ).

Pour tout ${x>0}$ , on a l’inégalité ${\ln(x)\le x-1}$ (avec égalité ${\Leftrightarrow x=1}$ ).

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