Dérivation des fonctions numériques

Plan du chapitre "Techniques d'analyse"

Notion de fonction continue

Dans la suite de ce chapitre, on considère essentiellement des fonctions numériques définies sur un intervalle ${I}$ non vide et non réduit à un point (on dit aussi « intervalle d’intérieur non vide »).

Dans le cas fréquent d’une fonction définie sur une réunion d’intervalles disjoints, on se ramène au cas précédent en étudiant la restriction de ${f}$ à chacun de ces intervalles.

Dans ce chapitre, la notion de « fonction continue » (en un point, et plus généralement sur un intervalle) est supposée connue (on se réfèrera au cours de Terminale S).

On se contentera donc pour l’instant d’une approche intuitive de la continuité (la faculté de pouvoir tracer la courbe représentative « sans lever le crayon »).

Les fonctions usuelles (fonctions puissances, trigonométriques, exponentielle, logarithme, etc.) sont continues sur leur domaine (la fonction « partie entière » est une exception notable).

Les deux énoncés suivants permettent donc d’affirmer la continuité d’une fonction numérique définie comme un « cocktail » de fonctions usuelles.

Proposition (sommes, produits et quotients de fonctions continues)
Soit

{f}

{g}

deux fonctions continues sur l’intervalle

{I}

.
Alors les fonctions

{\alpha f+\beta g}

{fg}

sont continues sur

{I}

.
Si

{g}

ne s’annule pas sur

{I}

, alors les fonctions

{\dfrac{1}{g}}

{\dfrac{f}{g}}

sont continues sur

{I}

Proposition (composée de deux fonctions continues)
Soit

{f:I\to\mathbb{R}}

{g:J\to\mathbb{R}}

deux fonctions continues, avec

{f(I)\subset J}

.
Alors la fonction

{g\circ f}

est continue sur

{I}

Équation de la tangente en un point

La notion de « fonction dérivable » est supposée connue (cf cours de 1ère S et de Terminale S).
On se bornera à dire, de façon très informelle, que ${f:I\to\mathbb{R}}$ est dérivable en un point ${a}$ de ${I}$ si sa courbe représentative présente, au point ${A(a,f(a))}$ , une tangente non verticale ${\Delta_{a}}$ .

On dit que la fonction ${f}$ est dérivable sur l’intervalle ${I}$ si elle est dérivable en tout point de ${I}$ .

On note alors ${f'}$ la fonction qui à toute valeur ${a}$ de ${I}$ associe le coefficient directeur de la tangente ${\Delta_{a}}$ .
L’équation de ${\Delta_{a}}$ est donc : ${y=f(a)+(x-a)f'(a)}$ .

La fonction ${f'}$ est parfois noté ${\text{D}(f)}$ , ou ${\dfrac{\text{d}f}{\text{d}x}}$ .

On généralise à la notion de dérivée à droite (ou à gauche) en un point (notamment aux bornes de ${I}$ ).
On parle alors de demi-tangente à droite (ou à gauche) au point correspondant de la courbe ${(\Gamma)}$ .

Opérations sur les fonctions dérivables

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