Généralités sur les fonctions numériques

• Propriétés de la relation d’ordre dans ℝ
• Puissances à exposants entiers ou rationnels
• Généralités sur les fonctions numériques
• Dérivation des fonctions numériques
• Fonctions usuelles
• Études de fonctions, inégalités

Dans la suite, on considère des fonctions {f} à valeurs réelles, définies sur une partie {\mathcal{D}} de {\mathbb{R}}.
On dit que {\mathcal{D}} est le domaine de définition de la fonction numérique {f}.
Le plus souvent, {\mathcal{D}} est un intervalle ou une réunion disjointe d’intervalles.

Représentations graphiques

On munit le plan d’un repère orthogonal (et même, le plus souvent, orthonormé).
L’ensemble {(\Gamma)} des points {M(x,f(x))} est appelé courbe représentative (ou graphe) de {f}.
Chaque droite verticale {x=x_{0}}, où {x_{0}\in\mathcal{D}}, rencontre {(\Gamma)} en l’unique point {(x_{0},f(x_{0}))}.

On voit ici la courbe représentative d’une fonction définie sur un segment {[\alpha,\beta]} de {\mathbb{R}}.

Soit {f:\mathcal{D}\to\mathbb{R}} une fonction, et soit {(\Gamma)} sa courbe représentative.

À partir de {f} et d’un réel {a}, on va voir plusieurs définitions d’une fonction {f_{a}} : on va déterminer son domaine {\mathcal{D}_{a}}, et trouver la relation géométrique entre les courbes {(\Gamma)} de {f} et {(\Gamma_{a})} de {f_{a}}.

Représentation graphique de {x\mapsto f_{a}(x)=f(x)+a}

Posons {f_{a}(x)=f(x)+a}. Le domaine {\mathcal{D}_{a}} de {f_{a}} égal au domaine {\mathcal{D}} de {f}.

La courbe {(\Gamma_{a})} se déduit de {(\Gamma)} par la translation de vecteur {(0,a)}.

En effet, on a les équivalences : {\begin{array}{rl}M(x,y)\in\Gamma_{a}&\Leftrightarrow y=f_{a}(x)=f(x)+a\\\\ &\Leftrightarrow y-a=f(x)\Leftrightarrow N(x,y-a)\in\Gamma\end{array}}

Représentation graphique de {x\mapsto f_{a}(x)=f(x+a)}

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