Études de fonctions, inégalités

• Propriétés de la relation d’ordre dans ℝ
• Puissances à exposants entiers ou rationnels
• Généralités sur les fonctions numériques
• Dérivation des fonctions numériques
• Fonctions usuelles
• Études de fonctions, inégalités

Plan d’étude d’une fonction numérique

L’étude d’une fonction numérique {f} consiste en général en les étapes suivantes :

• Préciser le domaine de définition {\mathcal{D}} et la dérivabilité de {f}.
• Si {f} est périodique, ou si on devine un axe ou un centre de symétrie (du fait notamment de la parité ou de l’imparité de {f}), on en profite pour réduire « le domaine d’étude ».
  Si on ne devine rien, il est prudent de dire « pas de réduction évidente du domaine d’étude ».
• Étudier le sens de variation de {f}, et dresser le tableau de variations.
  On pourra compléter ce tableau par les « limites aux bornes du domaine ».
• Effectuer les études locales pour une compréhension fine du comportement de {f} en certains points : ceux par exemple où la dérivabilité de {f} pose problème, ou encore les branches infinies.
• Tracer soigneusement la courbe représentative.

Nous allons maintenant revenir en détail sur quelques-unes de ces étapes.

Dérivabilité sur le domaine de définition

On commence toujours par préciser le domaine de définition {\mathcal{D}} de {f}.

Il s’agit en général d’un intervalle, ou d’une réunion d’intervalles.

On indique ensuite sur quelle partie de ce domaine on peut appliquer les résultats généraux portant sur les opérations entre fonctions usuelles, et donc conclure à la continuité et/ou à la dérivabilité de {f}.

On est d’ailleurs souvent amené à affirmer directement que {f} est indéfiniment dérivable sur son domaine (ou sur une partie de celui-ci) en vertu de ces mêmes résultats.

À ce stade, il est possible que certains points isolés « posent problème » (on ne peut appliquer les résultats généraux). Cela ne veut pas dire, pour autant, que {f} ne sera pas dérivable en ces points, et il conviendra de répondre (plus tard) à cette question par des « études locales ».

Réduction du domaine d’étude

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