Propriétés de la relation d'ordre dans ℝ

Plan du chapitre "Techniques d'analyse"

Existence d’une relation d’ordre total sur ${\mathbb{R}}$

Proposition (propriétés de la relation d'ordre sur ℝ)
L’ensemble

{\mathbb{R}}

est muni d’une relation d’ordre notée

{\le}

.
Cette relation vérifie les propriétés suivantes :

ordre total : pour tous ${x,y}$ de ${\mathbb{R}}$ , on a : ${x\le y}$ ou ${y\le x}$ .
compatibilité avec l’addition : ${\forall\,(x,y,z)\in\mathbb{R}^3,\;x\le y\Rightarrow x+z\le y+z}$ .
et avec le produit par un réel positif : ${\forall\,(x,y)\in\mathbb{R}^2,\;\forall z\in\mathbb{R}^+,\;(x\le y)\Rightarrow xz\le yz}$ .

Relation d’ordre contraire, inégalités strictes

La relation d’ordre contraire de la précédente, définie par ${x\ge y}$ , équivaut à ${y\le x}$ .
On utilise plus souvent ${\le}$ que ${\ge}$ dans les calculs, mais essentiellement ${\le}$ dans les définitions et propriétés (sachant qu’à toute propriété relative à ${\le}$ correspondant une propriété relative à ${\ge}$ ).
On définit les inégalités strictes : ${\begin{cases}\;x\lt y\text{\ équivaut à\ }(x\le y\;\text{et}\; x\ne y)\cr\;x>y\text{\ équivaut à\ }y\lt x\end{cases}}$

On rappelle que les relations ${\lt }$ et ${>}$ ne définissent pas des relations d’ordre, car elles ne sont pas réflexives (on n’a jamais ${x\lt x}$ .

Cas des ensembles ${\mathbb{N}}$ , ${\mathbb{Z}}$ et ${\mathbb{Q}}$

On peut restreindre la relation d’ordre de ${\mathbb{R}}$ à chacun des ensembles ${\mathbb{N}}$ , ${\mathbb{Z}}$ , ou ${\mathbb{Q}}$ (et considérer alors qu’il s’agit d’une relation d’ordre total sur chacun de ces trois ensembles).

Pour ce qui est de ${\mathbb{N}}$ et ${\mathbb{Z}}$ , on dispose de propriétés importantes :

Toute partie non vide de ${\mathbb{N}}$ possède un élément minimum ( ${0}$ est le minimum de ${\mathbb{N}}$ ).
Toute partie minorée non vide de ${\mathbb{Z}}$ possède un élément minimum.
Toute partie majorée non vide de ${\mathbb{N}}$ , ou de ${\mathbb{Z}}$ , possède un élément maximum.
Si ${x}$ et ${y}$ sont dans ${\mathbb{Z}}$ , on a l’équivalence : ${x\le y\Leftrightarrow(\exists\, n\in\mathbb{N},\;y=x+n)}$ .

Les propriétés précédentes sont fausses pour l’ensemble ${\mathbb{Q}}$ (démontrez-le).

Définition ”(notations etc.”)]
On pose

{\mathbb{R}^{+*}=\{x\in\mathbb{R},\;x>0\}}

{\mathbb{R}^+=\mathbb{R}^{+*}\cup\{0\}=\{x\in\mathbb{R},\;x\ge 0\}}

.
On définit de même les ensembles

{\mathbb{Z}^{+*}}

{\mathbb{Z}^+}

{\mathbb{Q}^{+*}}

, et

{\mathbb{Q}^+}

.
On pose

{\mathbb{R}^{-*}=\{x\in\mathbb{R},\;x\lt 0\}}

{\mathbb{R}^-=\mathbb{R}^{-*}\cup\{0\}=\{x\in\mathbb{R},\;x\le0\}}

.
On définit de même les ensembles

{\mathbb{Z}^{-*}}

{\mathbb{Z}^-}

{\mathbb{Q}^{-*}}

, et

{\mathbb{Q}^-}

Ne pas généraliser aux nombres complexes!

Soit ${x}$ un réel : si ${x\ge 0}$ alors ${x^{2}\ge 0}$ (comptabilité pour le produit par un réel positif).
Mais si ${x\le 0}$ , alors ${-x\ge 0}$ et là encore on a ${(-x)^{2}\ge 0}$ c’est-à-dire ${x^{2}\ge 0}$ .

Retenons donc que pour tout ${x}$ réel, on a ${x^{2}\ge0}$ (et bien sûr ${x^{2}>0}$ pour tout réel ${x}$ non nul).

De cette remarque très simple, il découle qu’il n’existe pas de relation d’ordre dans ${\mathbb{C}}$ qui puisse étendre celle de ${\mathbb{R}}$ (en gardant notamment la comptabilité pour le produit par un nombre positif).
En effet, si tel était le cas, on trouverait ${i^{2}>0}$ , c’est-à-dire ${-1>0}$ .

Il existe des relations d’ordre total sur ${\mathbb{C}}$ , mais qui ne généralisent pas les propriétés de celle de ${\mathbb{R}}$ .

Pour éviter les ennuis, on évitera donc d’écrire ${z\le z’}$ , quand ${z}$ et ${z’}$ sont dans ${\mathbb{C}}$ .

Relation d’ordre et opérations dans ${\mathbb{R}}$

Signe de la somme, du produit

Le tableau ci-après résume les règles des signes, c’est-à-dire ce qu’on peut affirmer sur ${x+y}$ ou sur ${xy}$ quand on connait la position de ${x}$ et de ${y}$ par rapport à ${0}$ (les points d’interrogation signifient qu’il n’y a pas de réponse générale dans tel ou tel cas).

${\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}x&\ge0&\le0&\ge0&>0&\lt 0\cr y&\ge0&\le0&\le0&>0&\lt 0\vphantom{\Bigl(}\cr\hline \vphantom{\Bigl(}x+y&\ge0&\le0&?&>0&\lt 0\cr xy&\ge0&\ge0&\le0&>0&>0\end{array}}$ ${\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}x&\gt0&>0&>0&\lt 0&\lt 0\cr y&\lt 0&\ge0&\le0&\ge0&\le0\vphantom{\Bigl(}\cr\hline \vphantom{\Bigl(}x+y&?&>0&?&?&\lt 0\cr xy&\lt 0&\ge0&\le0&\le0&\ge0\end{array}}$

On démontre également les équivalences suivantes, valables pour tous réels ${x,y,z}$ :
${\begin{cases}x+z\le y+z\Leftrightarrow x\le y\cr x\le y\Leftrightarrow-y\le-x\cr x\le0\Leftrightarrow-x\ge0\end{cases}}$ ${\begin{cases}x+z\lt y+z\Leftrightarrow x\lt y\cr x\lt y\Leftrightarrow-y\lt -x\cr x\lt 0\Leftrightarrow-x>0\end{cases}}$ ${\begin{cases}(x\le y\;\text{et}\; z\le0)\Rightarrow xz\ge yz\cr (x\lt y\;\text{et}\; z>0)\Rightarrow xz\lt yz\cr (x\lt y\;\text{et}\; z\lt 0)\Rightarrow xz>yz\end{cases}}$

Relation d’ordre et passage à l’inverse

Pour tout réel ${x}$ non nul, on a les équivalences évidentes :
${x>0\Leftrightarrow\dfrac{1}{x}>0}$ , et ${x\lt 0\Leftrightarrow \dfrac{1}{x}\lt 0}$

Pour tout réel ${x}$ non nul, on a aussi les équivalences suivantes :
${\begin{array}{ll}x>1\Leftrightarrow0\lt \dfrac{1}{x}\lt 1\quad&\quad x\lt -1\Leftrightarrow-1\lt \dfrac{1}{x}\lt 0\\\\0\lt x\lt 1\Leftrightarrow\dfrac{1}{x}>1\quad&\quad-1\lt x\lt 0\Leftrightarrow\dfrac{1}{x}\lt -1\cr \end{array}}$
Plus généralement, pour tous réels ${x}$ et ${y}$ , on a :
${\begin{array}{l}0\lt x\lt y\Leftrightarrow 0\lt \dfrac{1}{y}\lt \dfrac{1}{x}\\\\ x\lt y\lt 0\Leftrightarrow \dfrac{1}{y}\lt \dfrac{1}{x}\lt 0\\\\x\lt 0\lt y\Leftrightarrow \dfrac{1}{x}\lt 0\lt \dfrac{1}{y}\end{array}}$

Valeur absolue, inégalité triangulaire

Définition
Pour tout réel

{x}

, on pose

{|x|=\max(-x, x)}

. Cette quantité est appelée valeur absolue de

{x}

On vérifie immédiatement les propriétés suivantes :

Pour tout réel ${x}$ : ${\begin{cases}|x|\ge0,\quad|x|=0\Leftrightarrow x=0&\cr|x|=x\Leftrightarrow x\ge0,\quad|x|=-x\Leftrightarrow x\le0&\end{cases}}$
Plus généralement, pour ${x\in\mathbb{R}}$ , et ${\alpha\in\mathbb{R}^+}$ : ${|x|=\alpha\Leftrightarrow x\in\{-\alpha,\alpha\}}$ .

Et avec les mêmes notations :
${\begin{array}{l}\begin{cases}|x|\le\alpha\Leftrightarrow-\alpha\le x\le\alpha&\cr |x|\lt \alpha\Leftrightarrow-\alpha\lt x\lt \alpha\end{cases}\\\\\text{et}\;\begin{cases}|x|\ge\alpha\Leftrightarrow (x\le-\alpha\;\;\text{ou}\;\;x\ge\alpha)\cr |x|>\alpha\Leftrightarrow (x\lt -\alpha\;\;\text{ou}\;\;x>\alpha)\end{cases}\end{array}}$
Pour tous réels ${x}$ et ${y}$ :
${\begin{array}{l}\begin{cases}x^2=y^2\Leftrightarrow|x|=|y|\\ x^2\le y^2\Leftrightarrow|x|\le|y|\end{cases},\quad |xy|=|x|\,|y|\\\\\text{et\ }|x^n|=|x|^n\text{\ pour tout entier\ }n\end{array}}$
Pour tous réels ${x}$ et ${y}$ , on a : ${\begin{array}{l}\max(x,y)=\dfrac 12(x+y+|x-y|)\\\\\text{et}\quad\min(x,y)=\dfrac 12(x+y-|x-y|)\end{array}}$

Proposition (inégalité triangulaire)
Pour tous réels

{x}

{y}

, on a :

{|x+y|\le|x|+|y|}

.
On a l’égalité

{|x+y|=|x|+|y|}

si et seulement si

{x}

{y}

ont le même signe.

Proposition (valeur absolue d'une somme, ou d'un produit, de n nombres réels)
Pour tous réels

{x_1,x_2,\ldots,x_n}

, on a :

{\Bigl|\displaystyle\prod_{k=1}^nx_k\Bigl|=\displaystyle\prod_{k=1}^n\,|x_k|}

{\Bigl|\displaystyle\sum_{k=1}^nx_k\Big|\le\displaystyle\sum_{k=1}^n|x_k|}

On a l’égalité ${\Bigl|\displaystyle\sum_{k=1}^nx_k\Bigl|=\sum_{k=1}^n|x_k|}$ si et seulement si tous les ${x_k}$ ont le même signe.

Définition
Pour tout réel

{x}

, on note

{\begin{cases}x^+=\max(x,0)\cr x^-=\max(-x,0)\end{cases}}

Ainsi : ${x^+=\begin{cases}x&\text{si }x\ge0\cr0&\text{sinon}\end{cases}}$ et ${x^-=\begin{cases}-x&\text{si }x\le0\cr0&\text{sinon}\end{cases}}$

On dit que ${x^{+}}$ (resp. ${x^{-}}$ ) est la partie positive (resp. négative) du réel ${x}$ .

Avec ces notations, pour tout réel

{x}

{\begin{cases}x^+\ge0\cr x^-\ge0\end{cases}\quad\begin{cases}x=x^+-x^-\cr |x|=x^++x^-\end{cases}\quad\begin{cases}x^{+}=(x+\left|x\right|)/2\cr x^-=(\left|x\right|-x)/2\end{cases}}

Définition
Pour tous réels

{x,y}

, la quantité

{d(x,y)=|y-x|}

est appelée distance de

{x}

et de

{y}

.
Elle vérifie, pour tous réels

{x,y,z}

{\begin{cases}d(x,y)\ge0,\quad d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y&\cr d(x,y)\le d(x,z)+d(z, y)&\end{cases}}

Remarques

Pour tous réels ${x}$ et ${y}$ , on a ${d(|x|,|y|)\le d(x,y)}$ , c’est-à-dire ${|\,|x|-|y|\,|\le|x-y|}$ .
Ce résultat complète donc l’inégalité triangulaire.
Si ${a}$ est dans ${\mathbb{R}}$ et ${b}$ dans ${\mathbb{R}^{+}}$ , on a l’équivalence : ${\left|x-a\right|\le b\Leftrightarrow a-b\le x\le a+b}$ .

Intervalles de ${\mathbb{R}}$

Définition
Pour tous réels

{a}

{b}

, on définit les ensembles suivants, dits intervalles de

{\mathbb{R}}

{\left\{\begin{array}{l}[a,b]=\{x\in\mathbb{R},\;a\le x\le b\}\\[6pts][a,b[\;=\{x\in\mathbb{R},\;a\le x\lt b\}\\[6pts]]a,b]=\{x\in\mathbb{R},\;a\lt x\le b\}\\[6pts]]a,b[\;=\{x\in\mathbb{R},\;a\lt x\lt b\}\\[6pts]]-\infty,+\infty[\;=\mathbb{R}\\[6pts]{}[a,+\infty[\;=\{x\in\mathbb{R},\;a\le x\}\\[6pts]]a,+\infty[\;=\{x\in\mathbb{R},\;a\lt x\}\\[6pts]]-\infty,b]=\{x\in\mathbb{R},\;x\le b\}\\[6pts]]-\infty,b[\;=\{x\in\mathbb{R},\;x\lt b\}\end{array}\right.}

En particulier :

{\begin{array}{l}\mathbb{R}^+=[0,+\infty[,\;\mathbb{R}^{+*}=\;]0,+\infty[,\\\\\mathbb{R}^-=\;]-\infty,0],\;\mathbb{R}^{-*}=\;]-\infty,0[\end{array}}

Remarques et définitions

On dit que ${[\,a,b\,]}$ (avec ${a\le b}$ ) est le segment d’origine ${a}$ et d’extrémité ${b}$ .
Les intervalles ${]\,a,b\,[}$ , ${]\,a,+\infty[}$ , ${]-\infty,b[}$ et ${]-\infty,+\infty[}$
sont dits ouverts.
Les intervalles ${[\,a,b\,]}$ , ${[\,a,+\infty[}$ , ${]-\infty,b\,]}$ et ${]-\infty,+\infty[}$ sont dits fermés.
Les intervalles ${]\,a,b\,]}$ et ${[\,a,b\,[}$ sont dits semi-ouverts (ou semi-fermés !).
Le segment ${[\,a,a\,]}$ se réduit à ${\{a\}}$ ; l’intervalle ${]\,a,a\,[}$ est vide.
Les segments sont les intervalles fermés bornés.

La proposition suivante est admise pour l’instant.

Proposition (caractérisation des intervalles de ℝ)
Soit

{I}

une partie non vide de

{\mathbb{R}}

.
Alors

{I}

est un intervalle si et seulement si

{I}

est convexe c’est-à-dire :

{\forall\,(x,y)\in I\times I,\;[\,x,y\,]\subset I}

Autrement dit :

{I}

est un intervalle si et seulement si, dès que

{I}

contient deux réels

{x}

{y}

, alors

{I}

contient le segment qui les joint.

Parties majorées, minorées, bornées

Dans les définitions suivantes, ${A}$ désigne une partie de ${\mathbb{R}}$
(éventuellement vide).

Définition (partie majorée)
On dit qu’un réel

{M}

majore

{A}

(ou est un majorant de

{A}

) si

{M\ge a}

pour tout

{a}

{A}

.
On dit que

{A}

est majorée si l’ensemble de ses majorants est non vide.

Définition (partie minorée)
On dit qu’un réel

{m}

minore

{A}

(ou est un minorant de

{A}

) si

{m\le a}

pour tout

{a}

{A}

.
On dit que

{A}

est minorée si l’ensemble de ses minorants est non vide.

Définition (partie bornée)
On dit que

{A}

est bornée si

{A}

est à la fois minorée et majorée.
Ainsi

{A}

est bornée si et seulement si il existe

{m,M}

dans

{\mathbb{R}}

tels que

{m\le a\le M}

pour tout

{a}

{A}

Remarques

La partie vide est bornée! Toute partie finie de ${\mathbb{R}}$ est bornée.
Dire que ${A}$ est majorée, c’est dire qu’il existe ${M}$ dans ${\mathbb{R}}$ tel que : ${A\subset\,]-\infty,M]}$ .
Dire que ${A}$ est minorée, c’est dire qu’il existe ${m}$ dans ${\mathbb{R}}$ tel que : ${A\subset[m,+\infty[}$ .
Dire que ${A}$ est bornée, c’est dire qu’il existe ${m}$ et ${M}$ dans ${\mathbb{R}}$ tels que : ${A\subset[m,M]}$ .
Si ${M}$ est un majorant de ${A}$ , alors tout réel ${M’\ge M}$ est a fortiori un majorant de ${A}$ .
Si ${m}$ est un minorant de ${A}$ , alors tout réel ${m’\le m}$ est a fortiori un minorant de ${A}$ .
Seuls les intervalles de ${\mathbb{R}}$ qui sont de la forme ${[\,a,b\,]}$ , ${]\,a,b\,]}$ , ${[\,a,b\,[}$ ou ${]\,a,b\,[}$ sont bornés.
Dire que ${A}$ est bornée, c’est dire qu’il existe ${M}$ dans ${\mathbb{R}}$ tel que : ${\forall\, x\in A,\;\left|x\right|\le M}$ .
Ainsi ${A}$ est bornée si et seulement si elle est “majorée en valeur absolue”.
Posons ${-A=\{-a,\;a\in A\}}$ .
Avec ces notations : ${A}$ est majorée (resp. minorée) si et seulement si ${-A}$ est minorée (resp. majorée).

Définition (élément maximum)
Soit

{\alpha}

un élément de

{A}

.
On dit que

{\alpha}

est un maximum (ou un plus grand élément) de

{A}

{\alpha\ge x}

pour tout

{x}

{A}

.
Si un tel élément existe, il est unique. On le note alors

{\alpha=\max(A)}

Définition (élément minimum)
Soit

{\alpha}

un élément de

{A}

.
On dit que

{\alpha}

est un minimum (ou un plus petit élément) de

{A}

{\alpha\le x}

pour tout

{x}

{A}

.
Si un tel élément existe, il est unique. On le note alors

{\alpha=\min(A)}

Remarques et exemples

Dire que ${A}$ possède un maximum, c’est dire que l’un des éléments de ${A}$ est un majorant de ${A}$ .
Dire que ${A}$ possède un minimum, c’est dire que l’un des éléments de ${A}$ est un minorant de ${A}$ .
L’intervalle ${A = ]-\infty,1[}$ est majoré, mais non minoré (donc non borné).
L’ensemble de ses majorants est ${[1,+\infty[}$ . Le maximum de ${A}$ n’existe pas.
L’intervalle ${B=[-2,+\infty[}$ est minoré mais non majoré.
L’ensemble de ses minorants est ${]-\infty,-2]}$ , et on a ${\min(B)=-2}$ .
L’intervalle ${C =\,]0,1[}$ est borné, mais ${\min(C)}$ et ${\max(C)}$ n’existent pas.
L’intervalle ${D = [0,1]}$ est borné. De plus ${\min(D) = 0}$ et ${\max(D) = 1}$ .
Si ${A=\Big\{\dfrac{n}{n+1},\;n\in\mathbb{N}\Big\}}$ , ${\min A=0}$ , et ${\max A}$ n’existe pas.
L’ensemble des majorants est ${[1,+\infty[}$

Borne supérieure et borne inférieure dans ${\mathbb{R}}$

L’axiome suivant, très important, constitue une spécificité de ${\mathbb{R}}$ par rapport à ${\mathbb{Q}}$ .

Axiome de la borne supérieure
Soit ${A}$ une partie non vide et majorée de ${\mathbb{R}}$ .
Alors l’ensemble des majorants de ${A}$ possède un élément minimum.
Cet élément est appelé borne supérieure de ${A}$ , et on le note ${\sup(A)}$

Remarques

Soit ${A}$ une partie non vide et majorée de ${\mathbb{R}}$ .

Le réel ${\beta=\sup(A)}$ est caractérisé par les deux propriétés
${\begin{cases}\forall\, x\in A,\;x\le\beta\cr \forall\,\varepsilon>0,\;\exists\,a\in A,\;\beta-\varepsilon\lt a\le\beta\end{cases}}$
Autrement dit, ce qui caractérise ${\beta}$ c’est que d’une part ${\beta}$ est un majorant de ${A}$ , et d’autre part tout réel strictement inférieur à ${\beta}$ n’est pas un majorant de ${A}$
L’ensemble des majorants de ${A}$ est alors l’intervalle ${[\beta,+\infty[}$ .
On retiendra donc : toute partie non vide majorée de ${\mathbb{R}}$ possède une borne supérieure.
Et d’une façon plus familière : la borne supérieure de ${A}$ , c’est le plus petit des majorants des ${A}$ .

L’axiome de la borne supérieure étant admis, on peut démontrer le résultat suivant :

Proposition (propriété de la borne inférieure)
Soit

{A}

une partie non vide et minorée de

{\mathbb{R}}

.
Alors l’ensemble des minorants de

{A}

possède un élément maximum.
Cet élément est appelé borne inférieure de

{A}

, et on le note

{\inf(A)}

Remarques

Soit ${A}$ une partie non vide et minorée de ${\mathbb{R}}$ .

Le réel ${\alpha=\inf(A)}$ est caractérisé par : ${\begin{cases}\forall\, x\in A,\;x\ge\alpha\cr \forall\,\varepsilon>0,\;\exists\, a\in A,\;\alpha\le a\lt \alpha+\varepsilon\end{cases}}$

Autrement dit, ce qui caractérise ${\alpha}$ c’est que d’une part $\alpha$ est un minorant de $A$ , et d’autre part tout réel strictement supérieur à $\alpha$ n’est pas un minorant de $A$
L’ensemble des minorants de ${A}$ est alors l’intervalle ${]-\infty,\alpha]}$ .
On retiendra donc : toute partie non vide minorée de ${\mathbb{R}}$ possède une borne inférieure.
Et d’une façon plus familière : la borne inférieure de ${A}$ , c’est le plus grand des minorants de ${A}$ .

Quelques propriétés de la borne Sup et la borne Inf

Soit ${A}$ une partie non vide et majorée de ${\mathbb{R}}$ (donc telle que ${\sup(A)}$ existe).
Dire que ${x}$ majore ${A}$ (donc écrire que ${x\ge a}$ pour tout ${a}$ de ${A}$ ) c’est dire que ${x\ge \sup(A)}$ .
Dire que ${\max(A)}$ existe, c’est dire que ${\sup(A)}$ est élément de ${A}$ . Dans ce cas, ${\sup(A)=\max(A)}$ .
Soit ${A}$ une partie non vide et minorée de ${\mathbb{R}}$ (donc telle que ${\inf(A)}$ existe).
Dire que ${x}$ minore ${A}$ (donc écrire que ${x\le a}$ pour tout ${a}$ de ${A}$ ) équivaut à écrire ${x\le \inf(A)}$ .
Dire que ${\min(A)}$ existe, c’est dire que ${\inf(A)}$ est élément de ${A}$ . Dans ce cas, ${\inf(A)=\min(A)}$ .
Soit ${A,B}$ deux parties non vides de ${\mathbb{R}}$ .
Si ${B}$ est majorée et si ${A\subset B}$ , alors ${A}$ est majorée et ${\sup(A)\le \sup(B)}$ .
Si ${B}$ est minorée et si ${A\subset B}$ , alors ${A}$ est minorée et ${\inf(B)\le\inf(A)}$ .
Soit ${A}$ une partie non vide de ${\mathbb{R}}$ . On rappelle la notation ${-A=\{-a,a\in A\}}$ .
Si ${A}$ est majorée, alors ${-A}$ est minorée et ${\inf(-A)=-\sup(A)}$ .
Si ${A}$ est minorée, alors ${-A}$ est majorée et ${\sup(-A)=-\inf(A)}$ .
Soit ${A,B}$ deux parties non vides de ${\mathbb{R}}$ .
On rappelle la notation ${A+B=\{a+b,\;a\in A,\;b\in B\}}$ .
Si ${A,B}$ sont majorées, alors ${A+B}$ est majorée et ${\sup(A+B)=\sup(A)+\sup(B)}$ .
Si ${A,B}$ sont minorées, alors ${A+B}$ est minorée et ${\inf(A+B)=\inf(A)+\inf(B)}$ .
Enfin les résultats suivants sont évidents, pour tous réels ${a}$ et ${b}$ , avec ${a\lt b}$ :
${\begin{array}{l}\begin{array}{l}\sup [a,b]=\sup[a,b[=\sup]a,b]=\sup]a,b[\\[6pts]\quad=\sup]\!-\!\infty,b]=\sup]\!-\!\infty,b[=b\end{array}\phantom{\biggl(}\\\\\begin{array}{rl}\inf[a,b]=\inf[a,b[=\inf]a,b]=\inf]a,b[\\[6pts]\quad=\inf[a,+\infty[=\inf]a,+\infty[=a\end{array}\end{array}}$

Caractérisation des intervalles

La propriété suivante est une caractérisation commode des intervalles de ${\mathbb{R}}$ (ce n’en est pas une définition, car l’énoncé suppose connue celle des segments ${[x,y]}$ ).

Proposition (caractérisation des intervalles)
Soit

{I}

une partie de

{\mathbb{R}}

(éventuellement vide).
Alors

{I}

est un intervalle si et seulement si :

{\forall\,(x,y)\in I\times I,\;[x,y]\subset I}

.
Autrement dit, les intervalles sont les parties de

{\mathbb{R}}

qui, dès qu’elles contiennent deux points, contiennent le segment qui les joint. On l’exprime en disant que les intervalles sont les parties convexes de

{\mathbb{R}}

Partie entière d’un nombre réel

On commence par démontrer un résultat qui semble évident, mais qui est une
conséquence de l’axiome de la borne supérieure.

Proposition (ℝ est archimédien)
Soit

{x}

un réel, et

{a}

un réel strictement positif.
Alors il existe un entier

{n}

tel que

{na>x}

.
On exprime cette propriété en disant que

{\mathbb{R}}

est archimédien.

Démonstration

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Proposition
Soit

{x}

un réel, et

{a}

un réel strictement positif.
Alors il existe un couple unique

{(n,y)}

{\mathbb{Z}\times[0,a[}

tel que

{x=na+y}

Il suffit d’appliquer le résultat précédent avec

{a=1}

pour obtenir la notion de partie entière.

Définition (partie entière)
Soit

{x}

un réel. Il existe un entier relatif unique

{m}

tel que

{m\le x\lt m+1}

.
On l’appelle partie entière de

{x}

et on le note

{\lfloor x\rfloor}

Quelques propriétés de la partie entière

Pour tout réel ${x}$ , on a : ${\lfloor x\rfloor\le x\lt \lfloor x\rfloor+1}$ , ou encore : ${x-1\lt \lfloor x\rfloor\le x}$
Pour tout ${x}$ de ${\mathbb{R}}$ , et tout ${m}$ de ${\mathbb{Z}}$ , on a : ${\lfloor x\rfloor=m\Leftrightarrow x\in[m,m+1[}$
Pour tout ${x}$ de ${\mathbb{R}}$ , on a : ${\lfloor x\rfloor=x\Leftrightarrow x\in\mathbb{Z}}$
Si ${x}$ est réel non entier, alors : ${\lfloor-x\rfloor=-\lfloor x\rfloor-1}$
Pour tout ${x}$ de ${\mathbb{R}}$ , et tout ${m}$ de ${\mathbb{Z}}$ , on a : ${\lfloor x+m\rfloor=\lfloor x\rfloor+m}$
Pour tous réels ${x}$ et ${y}$ : ${\lfloor x+y\rfloor\in\{\lfloor x\rfloor+\lfloor y\rfloor,\lfloor x\rfloor+\lfloor y\rfloor+1\}}$

Densité de ${\mathbb{Q}}$ et de ${\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}}$ dans ${\mathbb{R}}$

Proposition (densité de ℚ dans ℝ)
Soient

{x}

{y}

deux réels, avec

{x\lt y}

.
L’intervalle

{]x,y[}

contient une infinité de nombres rationnels.
On exprime cette situation en disant que

{\mathbb{Q}}

est dense dans

{\mathbb{R}}

.
L’ensemble

{\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}}

des nombres irrationnels est également dense dans

{\mathbb{R}}

On rappelle la définition des nombres décimaux.

Définition (nombres décimaux)
On dit qu’un réel

{x}

est un nombre décimal s’il existe

{k}

dans

{\mathbb{Z}}

{n}

dans

{\mathbb{N}}

tel que

{x=k\,10^{-n}}

Remarques

Si on note ${\mathbb{D}}$ l’ensemble des décimaux, on a ${\mathbb{Z}\varsubsetneq\mathbb{D}\varsubsetneq\mathbb{Q}}$ .
Les décimaux sont les réels qui peuvent s’écrire “avec un nombre fini de chiffres après la virgule”.
Soit ${x=\dfrac{a}{b}}$ un rationnel, écrit sous forme irréductible ( ${a\in\mathbb{Z}}$ , ${b\in\mathbb{N}^{*}}$ , et ${a\wedge b=1}$ .
Alors ${x}$ est décimal si et seulement si les seuls diviseurs premiers éventuels de ${b}$ sont ${2}$ et ${5}$ .
L’ensemble des décimaux est stable pour l’addition et pour le produit.
En revanche si ${x}$ est un décimal non nul, son inverse ${\dfrac{1}{x}}$ n’est en général pas un décimal.
En fait les ${x\ne0}$ tels que ${x}$ et ${\dfrac{1}{x}}$ soient décimaux sont les ${x=\pm\, 2^{n}5^{m}}$ , avec ${(n,m)}$ dans ${\mathbb{Z}^{2}}$ .

Définition (approximations décimales d'un réel)
Soit

{x}

un nombre réel et

{n}

un entier naturel.
Il existe un unique entier relatif

{m}

tel que

{m10^{-n}\le x\lt (m+1)10^{-n}}

.
Le réel

{\alpha_n=m10^{-n}}

est la valeur approchée de

{x}

{10^{-n}}

près par défaut.
On a

{\alpha_n=10^{-n}\lfloor 10^n x\rfloor}

.
Le réel

{\beta_n=(m+1)10^{-n}}

est la valeur approchée de

{x}

{10^{-n}}

près par excès.

Densité de l’ensemble des décimaux dans ${\mathbb{R}}$

Les propriétés ci-dessous montrent que l’ensemble des décimaux est dense dans ${\mathbb{R}}$ .
Soit ${x}$ un réel. Pour tout ${n\in\mathbb{N}}$ , posons ${\begin{cases}{rl}\alpha_n=10^{-n}\lfloor 10^n x\rfloor\\\beta_n=\alpha_n+10^{-n}\end{cases}}$ .

La suite ${(\alpha_n)}$ est une suite croissante de nombres décimaux.
La suite ${(\beta_n)}$ est une suite décroissante de nombres décimaux.
Les deux suites ${(\alpha_n)}$ et ${(\beta_n)}$ convergent vers ${x}$ .

Droite numérique achevée

Définition
On note

{\overline{\,\mathbb{R}}}

l’ensemble

{\mathbb{R}\cup\{-\infty,+\infty\}}

.
Cet ensemble est appelé droite numérique achevée.

Relation d’ordre sur ${\overline{\,\mathbb{R}}}$

On étend l’ordre total de ${\mathbb{R}}$ à ${\overline{\,\mathbb{R}}}$ en posant : ${\forall\, x\in\mathbb{R},-\infty\le x\le+\infty\text{\ (en fait\ }-\infty\lt x\lt +\infty)}$

Opérations sur ${\overline{\,\mathbb{R}}}$

De même, on étend (de façon toujours commutative) les lois ${+}$ et ${\times}$ de ${\mathbb{R}}$ en posant :

Pour l’addition, et pour tout réel ${x}$ : ${\left\{\begin{array}{ll}(+\infty)+(+\infty)=+\infty&(-\infty)+(-\infty)=(-\infty)\\x+(-\infty)=-\infty&x+(+\infty)=+\infty\end{array}\right.}$

Pour le produit : ${\left\{\begin{array}{ll}(+\infty)(+\infty)=+\infty,\quad(-\infty)(-\infty)=+\infty\\(-\infty)(+\infty)=-\infty\\\\\forall\, x\in\mathbb{R}^{+*},\;x(-\infty)=-\infty,\quad x(+\infty)=+\infty\\\quad\forall\, x\in\mathbb{R}^{-*},\;x(-\infty)=+\infty,\quad x(+\infty)=-\infty\end{array}\right.}$

Formes indéterminées

On ne donne pas de valeur aux expressions suivantes : ${(+\infty)+(-\infty)\quad0(+\infty)\quad0(-\infty)}$ Ces expressions sont appelées formes indéterminées.

Utiliser ${\overline{\,\mathbb{R}}}$ permet de simplifier les énoncés du genre :
${\begin{cases}\lim\limits_{n\to+\infty} u_n=\lambda\cr\lim\limits_{n\to+\infty} v_n=\mu\end{cases}\Rightarrow \lim\limits_{n\to+\infty}(u_n+v_n)=\lambda+\mu}$
Ce résultat est en effet vrai pour tous ${\lambda,\mu}$ de ${\overline{\,\mathbb{R}}}$ à l’exception des formes indéterminées pour lesquelles on devra faire une étude plus poussée (on devra donc lever la forme indéterminée).

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Mathprepa

Propriétés de la relation d’ordre dans ℝ

Existence d’une relation d’ordre total sur ${\mathbb{R}}$

Relation d’ordre contraire, inégalités strictes

Cas des ensembles ${\mathbb{N}}$ , ${\mathbb{Z}}$ et ${\mathbb{Q}}$

Ne pas généraliser aux nombres complexes!

Relation d’ordre et opérations dans ${\mathbb{R}}$

Signe de la somme, du produit

Relation d’ordre et passage à l’inverse

Valeur absolue, inégalité triangulaire

Intervalles de ${\mathbb{R}}$

Remarques et définitions

Parties majorées, minorées, bornées

Remarques

Remarques et exemples

Borne supérieure et borne inférieure dans ${\mathbb{R}}$

Remarques

Remarques

Quelques propriétés de la borne Sup et la borne Inf

Caractérisation des intervalles

Partie entière d’un nombre réel

Quelques propriétés de la partie entière

Densité de ${\mathbb{Q}}$ et de ${\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}}$ dans ${\mathbb{R}}$

Remarques

Densité de l’ensemble des décimaux dans ${\mathbb{R}}$

Droite numérique achevée

Relation d’ordre sur ${\overline{\,\mathbb{R}}}$

Opérations sur ${\overline{\,\mathbb{R}}}$

Formes indéterminées

Existence d’une relation d’ordre total sur {\mathbb{R}}

Relation d’ordre contraire, inégalités strictes

Cas des ensembles {\mathbb{N}}, {\mathbb{Z}} et {\mathbb{Q}}

Ne pas généraliser aux nombres complexes!

Relation d’ordre et opérations dans {\mathbb{R}}

Signe de la somme, du produit

Relation d’ordre et passage à l’inverse

Valeur absolue, inégalité triangulaire

Intervalles de {\mathbb{R}}

Remarques et définitions

Parties majorées, minorées, bornées

Remarques

Remarques et exemples

Borne supérieure et borne inférieure dans {\mathbb{R}}

Remarques

Remarques

Quelques propriétés de la borne Sup et la borne Inf

Caractérisation des intervalles

Partie entière d’un nombre réel

Quelques propriétés de la partie entière

Densité de {\mathbb{Q}} et de {\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}} dans {\mathbb{R}}

Remarques

Densité de l’ensemble des décimaux dans {\mathbb{R}}

Droite numérique achevée

Relation d’ordre sur {\overline{\,\mathbb{R}}}

Opérations sur {\overline{\,\mathbb{R}}}

Formes indéterminées

Existence d’une relation d’ordre total sur ${\mathbb{R}}$

Cas des ensembles ${\mathbb{N}}$ , ${\mathbb{Z}}$ et ${\mathbb{Q}}$

Relation d’ordre et opérations dans ${\mathbb{R}}$

Intervalles de ${\mathbb{R}}$

Borne supérieure et borne inférieure dans ${\mathbb{R}}$

Densité de ${\mathbb{Q}}$ et de ${\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}}$ dans ${\mathbb{R}}$

Densité de l’ensemble des décimaux dans ${\mathbb{R}}$

Relation d’ordre sur ${\overline{\,\mathbb{R}}}$

Opérations sur ${\overline{\,\mathbb{R}}}$