Propriétés de la relation d’ordre dans ℝ

Plan du chapitre "Techniques d'analyse"

Existence d’une relation d’ordre total sur {\mathbb{R}}

Proposition (propriétés de la relation d'ordre sur ℝ)
L’ensemble {\mathbb{R}} est muni d’une relation d’ordre notée {\le}.
Cette relation vérifie les propriétés suivantes :

  • ordre total : pour tous {x,y} de {\mathbb{R}}, on a : {x\le y} ou {y\le x}.
  • compatibilité avec l’addition : {\forall\,(x,y,z)\in\mathbb{R}^3,\;x\le y\Rightarrow x+z\le y+z}.
  • et avec le produit par un réel positif : {\forall\,(x,y)\in\mathbb{R}^2,\;\forall z\in\mathbb{R}^+,\;(x\le y)\Rightarrow xz\le yz}.

Relation d’ordre contraire, inégalités strictes

  • La relation d’ordre contraire de la précédente, définie par {x\ge y}, équivaut à {y\le x}.
    On utilise plus souvent {\le} que {\ge} dans les calculs, mais essentiellement {\le} dans les définitions et propriétés (sachant qu’à toute propriété relative à {\le} correspondant une propriété relative à {\ge}).
  • On définit les inégalités strictes : {\begin{cases}\;x\lt y\text{\ équivaut à\ }(x\le y\;\text{et}\; x\ne y)\cr\;x>y\text{\ équivaut à\ }y\lt x\end{cases}}

    On rappelle que les relations {\lt } et {>} ne définissent pas des relations d’ordre, car elles ne sont pas réflexives (on n’a jamais {x\lt x}.

Cas des ensembles {\mathbb{N}}, {\mathbb{Z}} et {\mathbb{Q}}

On peut restreindre la relation d’ordre de {\mathbb{R}} à chacun des ensembles {\mathbb{N}}, {\mathbb{Z}}, ou {\mathbb{Q}} (et considérer alors qu’il s’agit d’une relation d’ordre total sur chacun de ces trois ensembles).

Pour ce qui est de {\mathbb{N}} et {\mathbb{Z}}, on dispose de propriétés importantes :

  • Toute partie non vide de {\mathbb{N}} possède un élément minimum ({0} est le minimum de {\mathbb{N}}).
  • Toute partie minorée non vide de {\mathbb{Z}} possède un élément minimum.
  • Toute partie majorée non vide de {\mathbb{N}}, ou de {\mathbb{Z}}, possède un élément maximum.
  • Si {x} et {y} sont dans {\mathbb{Z}}, on a l’équivalence : {x\le y\Leftrightarrow(\exists\, n\in\mathbb{N},\;y=x+n)}.
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