Produits scalaires (3/4)

Soit {\mathcal{H}} un hyperplan affine d’un espace euclidien {E}, de direction un hyperplan vectoriel {H}.
On appelle vecteur normal à {\mathcal{H}} tout vecteur non nul de la droite vectorielle {D=H^{\bot}}.

Soit {\mathcal{H}} un hyperplan affine d’un espace euclidien {E}. Soit {\overrightarrow{n}} un vecteur normal à {\mathcal{H}}.
Soit {A} un point de {\mathcal{H}}. Alors on a l’équivalence : {M\in\mathcal{H}\Leftrightarrow \left({\overrightarrow{A M}}\mid{\overrightarrow{n}}\right)=0}.

Un hyperplan affine {\mathcal{H}} est donc déterminé par la donnée d’un point {\Omega} et d’un vecteur normal {\overrightarrow{n}}.

Soit {\overrightarrow{n}} un vecteur non nul d’un espace euclidien {E}. Soit {A} un point quelconque de {E}.
Soit {f} définie sur {E} par {f(M)=\left({\overrightarrow{AM}}\mid{\overrightarrow{n}}\right)}.
On appelle lignes de niveau de {f} les ensembles {\mathcal{H}_{\lambda}=\{M\in E,\;f(M)=\lambda\}}Les lignes de niveau de {f} sont les hyperplans affines de vecteur normal {\overrightarrow{n}}.
En particulier {\mathcal{H}_{0}} est l’hyperplan de vecteur normal {\overrightarrow{n}} et qui passe par {A}.