Produits scalaires (2/4)

Dans cette section on se place dans un espace vectoriel euclidien orienté {E}.

Il y a dans {E} des bases orthonormales directes et des bases orthonormales indirectes. En effet, si {\mathcal{B}=(e_1,e_2\ldots,e_n)} est orthonormale, alors la base {\mathcal{B}'=(-e_1,e_2,\ldots,e_n)} est orthonormale d’orientation contraire.

Soit {u_1,\ldots,u_n} une famille de {n} vecteurs d’un espace euclidien orienté {E} de dimension {n}.
Le déterminant {\det_{e}(u_1,u_2,\ldots,u_n)} est le même dans toute base orthonormale directe {e}.
Ce déterminant est appelé produit mixte de {u_1,u_2,\ldots,u_n} et il est noté {[u_1,u_2,\ldots,u_n]}.

L’application « produit mixte » est une forme {n}-linéaire alternée sur {E}.

Si {e_1,e_2,\ldots,e_n} forment une base orthonormale directe, alors {[e_1,e_2,\ldots,e_n]=1}.

Si {e_1,e_2,\ldots,e_n} forment une base orthonormale indirecte, alors {[e_1,e_2,\ldots,e_n]=-1}.

Soit {u_1,u_2,\ldots,u_n} une famille de {n} vecteurs de {E}.
On a évidemment {[u_1,u_2,\ldots,u_n]\ne0} si et seulement si les {u_{k}} forment une base de {E}.

Si la base {u_1,u_2,\ldots,u_n} est directe (resp. indirecte) alors {[u_1,u_2,\ldots,u_n]>0} (resp. {\lt 0})

Soit {u,v} deux vecteurs d’un plan euclidien orienté {E}.
Alors on a l’égalité {\left(u \mid v\right)^2+[u,v]^2=\left\|u\right\|^2\left\|v\right\|^2}.

Dans {E} euclidien orienté de dimension {n}, on a : {\bigl|[u_1,u_2,\ldots,u_n]\bigr|\le\left\|{u_1}\right\|\,\left\|{u_2}\right\|\,\cdots\,\left\|{u_n}\right\|}Si les {u_{k}} sont libres, ce résultat est une égalité {\Leftrightarrow} {u_{k}} sont orthogonaux deux à deux.

Soit {u_1,u_2,\ldots,u_n} une famille de {n} vecteurs de l’espace euclidien orienté {E}.

Pour tout endomorphisme {f} de {E}, on a : {[f(u_1),f(u_2),\ldots,f(u_n)]=(\det f)[u_1,u_2,\ldots,u_n]}En particulier, si {\det(f)=1}, on a {[f(u_1),f(u_2),\ldots,f(u_n)]=[u_1,u_2,\ldots,u_n]}Ainsi les applications linéaires de déterminant {1} conservent le produit mixte.

Soit {u,v} deux vecteurs d’un plan euclidien orienté {E_2}.
Alors {[u,v]} est l’aire orientée du parallélogramme construit sur les vecteurs {u} et {v}.
L’aire orientée du triangle formé sur {u} et {v} est {\dfrac{1}{2}[u,v]}.

On se place dans un espace euclidien orienté {E_{3}} de dimension {3}. On identifie ici les éléments de {E_{3}} avec des points de l’espace.

On se donne un parallélépipède dont les arêtes issues de {A} sont {AB}, {AC}, et {AD}.

Son volume orienté est {[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}]}.

Celui du tétraèdre {ABCD} est {\dfrac16[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}]}.

On a représenté ci-dessous le parallélépipède.
Ici la base {\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}} est directe, donc {[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}]\gt 0}.

Le procédé de Schmidt transforme {\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}} en une base orthonormale directe {e_1,e_2,e_3}.

On peut alors écrire {\begin{cases}\overrightarrow{AB}=be_1\\[6pts]\overrightarrow{AC}=c'e_1+ce_2\\[6pts]\overrightarrow{AD}=d''e_1+d'e_2+de_3\end{cases}}

Alors (et on obtient bien le volume du parallélépipède, En effet, {bc} est l’aire du parallélogramme de base, et {d} est la hauteur du parallélépipède) : {[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}]=\det_{e}\bigl(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\bigr)=bcd}