Polynômes (4/8)

Soit {A=\displaystyle\sum_{k\ge0}a_{k}X^k} dans {\mathbb{K}[X]}.
Le polynôme {A'=\displaystyle\sum_{k\ge0}(k+1)a_{k+1}X^k} est appelé polynôme dérivé de {A}.

Il s’agit ici d’une dérivée « formelle », c’est-à-dire purement symbolique.
Mais si {\mathbb{K}=\mathbb{R}}, alors la fonction polynomiale associée au polynôme {A'} est bien la dérivée (au sens habituel donné à ce nom) de la fonction polynomiale associée à {A}.
En revanche si {\mathbb{K}=\mathbb{C}}, ça n’a aucun sens de parler de fonction dérivée.

• Si {A=aX^3+bX^2+cX+d} alors {A'=3aX^2+2bX+c}.
• Si {A=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_kX^k}, alors {A'=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}(k+1)a_{k+1}X^{k}}, ou encore {A'=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k\,a_kX^{k-1}}.
• Si {\deg(A)\ge1} on a {\deg(A')=\deg(A)-1}.
  Pour cette raison, {A'} est le polynôme nul si et seulement si {A} est un polynôme constant.
  Plus généralement : {\begin{array}{l}\forall\, (A,B)\in\mathbb{K}[X]^2,\\[9pts]A'=B'\Leftrightarrow\exists\,\lambda\in\mathbb{K},\;A=B+\lambda\end{array}}

Soit {A} dans {\mathbb{K}[X]}.
On définit les polynômes dérivés successifs de {A} par {\begin{cases}A^{(0)}=A\\\forall\, m\in\mathbb{N}, A^{(m+1)}=(A^{(m)})'\end{cases}}

On dit que {A^{(m)}} est le polynôme dérivé {m}-ième de {A}.

On note bien sûr {A'} et {A''} plutôt que {A^{(1)}} et {A^{(2)}}.

Soit {A,B} dans {\mathbb{K}[X]}, et {\alpha,\beta} dans {\mathbb{K}}.
Pour tout {m} de {\mathbb{N}}, on a {(\alpha A+\beta B)^{(m)}=\alpha A^{(m)}+\beta B^{(m)}}.

Si {m\le k}, on a :{\begin{array}{rl}(X^k)^{(m)}&=k(k-1)\cdots(k-m+1)X^{k-m}\\[9pts]&=\dfrac {k!}{(k-m)!}X^{k-m}\end{array}}En particulier, {(X^m)^{(m)}=m!}, et {(X^k)^{(m)}=0} si {m>k}.

Plus généralement, si {A=\displaystyle\sum_{k\ge0}a_kX^k}, alors :{\begin{array}{rl}A^{(m)}&=\displaystyle\sum_{k\ge m}\dfrac{k!}{(k-m)!}\,a_{k}X^{k-m}\\[9pts]&=\displaystyle\sum_{k\ge0}\dfrac{(k+m)!}{k!}\,a_{k+m}X^k\end{array}}

Si {m\le \deg(A)}, alors {\deg(A^{(m)})=\deg(A)-m}.

Mais si {m>\deg A} alors {A^{(m)}=0}.

On a donc {A^{(m)}=0} si et seulement si {A} est de degré strictement inférieur à {m}.

Si {A=\displaystyle\sum_{k\ge0}a_{k}X^k} est de degré {n}, alors {A^{(n)}} est le polynôme constant {n!\,a_n}.

Soit {A,B} dans {\mathbb{K}[X]}, et {m} dans {\mathbb{N}}. On a {(AB)^{(m)}=\displaystyle\sum_{k=0}^m \dbinom{m}{k}\,A^{(k)}B^{(m-k)}}.

On retrouve {(AB)'=A'B+AB'}, mais aussi :{\begin{cases}(AB)''=A''B+2A'B'+AB''\cr (AB)'''=A'''B+3A''B'+3A'B''+AB'''\end{cases}}On se méfiera de l’analogie entre {(AB)^{(n)}} dans {\mathbb{K}[X]} et {(a+b)^n} dans {\mathbb{K}}.

En effet on a {A^{(0)}=A} et {B^{(0)}=B} « aux extrémités », alors que dans {\mathbb{K}} on a {a^0=b^0=1}.