Opérations sur les développements limités

Plan du chapitre "Analyse asymptotique"

Pour simplifier, les résultats sont énoncés pour des développements limités à l’origine (et les fonctions considérées seront supposées définies sur un intervalle {I} contenant {0} ou adhérent à {0}), mais on peut facilement les adapter à des développements en un autre point.

Pour chaque méthode, on donne un exemple d’utilisation (qui utilise éventuellement certains des développements qui seront présentés un peu plus loin).

Utilisation de combinaisons linéaires

Proposition (combinaison linéaire de deux développements limités)
On suppose {f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^na_kx^k+\text{o}(x^n)} et {g(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^nb_kx^k+\text{o}(x^n)}.
Pour tous scalaires {\alpha,\beta}, on a : {(\alpha f+\beta g)(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^n(\alpha a_k+\beta b_k)x^k+\text{o}(x^n)}.
  • Exemple 1 :{\begin{array}{l}\sin\Bigl(x+\dfrac\pi4\Bigr)=\dfrac{\sqrt2}{2}\,(\sin(x)+\cos(x))\\\\\qquad=\dfrac {\sqrt2}{2}\,\Bigl(1+x-\dfrac{x^2}{2!}-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^4}{4!}+\text{o}(x^4)\Bigr)\end{array}}
  • Exemple 2 :
    {\begin{array}{l}\dfrac12\,\ln\Bigl(\dfrac{1+x}{1-x}\Bigr)=\dfrac12\,\bigl(\ln(1+x)-\ln(1-x)\bigr)\\\\\qquad=x+\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^5}{5}+\cdots+\dfrac{x^{2n+1}}{2n+1}+\text{o}(x^{2n+2})\end{array}}
  • Exemple 3 :
    On sait que {\text{e}^x=\displaystyle\sum_{k=0}^{2n}\dfrac{x^k}{k!}+\text{o}(x^{2n})\;} donc {\;\text{e}^{-x}=\displaystyle\sum_{k=0}^{2n}(-1)^{k}\dfrac{x^k}{k!}+\text{o}(x^{2n})}.

    On en déduit : {\begin{cases}\text{ch}(x)=\dfrac{\text{e}^{x}+\text{e}^{-x}}{2}=\displaystyle\sum_{k=0}^n\dfrac{x^{2k}}{(2k)!}+\text{o}(x^{2n})\\\\\text{sh}(x)=\dfrac{\text{e}^{x}-\text{e}^{-x}}{2}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}+\text{o}(x^{2n})\end{cases}}

Produit de deux développements limités

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