Application des développements limités

Plan du chapitre "Analyse asymptotique"

Équivalents et DL

On utilise principalement les équivalents dans les recherches de limites, mais on se tourne vers les développements limités si on a besoin de davantage de précision (par exemple non seulement l’existence d’une demi-tangente mais encore la position de la courbe par rapport à celle-ci) ou quand il est difficile d’utiliser des équivalents (notamment dans les sommes).

  • On peut avoir besoin de développements limités pour trouver un simple équivalent d’une somme.

    Par exemple, pour un équivalent de {\sin(\,\text{sh}(x))-\,\text{sh}(\sin(x))} en {0}, il faut développer {\sin(x)} et {\,\text{sh}(x)} à l’ordre {7} (pour atteindre les premiers coefficients qui ne se simplifient pas).

    On trouve {\begin{cases}\sin(\,\text{sh}(x))=x-\dfrac{x^5}{15}-\dfrac{x^7}{90}+\text{o}(x^7)\\\\\text{sh}(\sin(x))=x-\dfrac{x^5}{15}+\dfrac{x^7}{90}+\text{o}(x^7)\end{cases}}

    Finalement : {\sin(\,\text{sh}(x))-\,\text{sh}(\sin(x))=-\dfrac{x^7}{45}+\text{o}(x^7)\stackrel{0}{\sim}-\dfrac{x^7}{45}}.

  • Plus généralement, soit le développement {f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^na_k(x-x_0)^k+\text{o}((x-x_0)^n)}.

    Si tous les {a_k} sont nuls, alors {f(x)} est négligeable devant {(x-x_0)^n} au voisinage de {x_0}.

    Sinon, et si {m} est l’indice minimum tel que {a_m\ne0}, alors {f(x)\sim a_m(x-x_0)^m} en {x_0}.

    Inversement, si {f(x)\sim a_m(x-x_0)^m} en {x_0}, avec {m\in\mathbb{N}}, alors {f(x)=a_m(x-x_0)^m+\text{o}((x-x_0)^m)}.

    Plus généralement, avec exemple le DL usuel : {\cos x=1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}+\text{o}(x^4)}.

    On peut écrire les équivalents : {\cos x-1\stackrel{0}{\sim}-\dfrac {x^2}{2!}}, ou encore {\cos x-1+\dfrac{x^2}{2!}\stackrel{0}{\sim}\dfrac {x^4}{4!}}

Position par rapport à une tangente

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