Exemples de développements asymptotiques

• Comparaison des suites
• Comparaison des fonctions
• Développements limités
• Opérations sur les développements limités
• Application des développements limités
• Exemples de développements asymptotiques

Position du problème

Considérons le DL usuel à l’origine : {\sin(x)=x-\dfrac{x^{3}}{6}+\dfrac{x^{5}}{120}+\text{o}(x^{6})}Si on remplace {x} par {\sqrt{x}}, on obtient : {\sin(\sqrt{x})=\sqrt{x}-\dfrac{x\sqrt{x}}{6}+\dfrac{x^{2}\sqrt{x}}{24}+\text{o}(x^{3})}Le résultat obtenu n’est pas un développement limité au sens qu’on a donné à ce terme (car sa partie régulière n’est pas un polynôme en {x}). On parle plutôt ici de « développement asymptotique ».

Plus généralement, un développement asymptotique en un point {x_{0}} nécessite ce qu’on appelle une « échelle de comparaison » est formée d’une suite de fonctions {x\mapsto\varphi_{n}(x)}, avec la particularité que, pour tout entier {n}, {\varphi_{n+1}(x)} est négligeable devant {\varphi_{n}(x)} quand {x} tend vers {x_{0}}.

Un développement asymptotique de {f} en {x_{0}}, à la précision {\text{o}(\varphi_{n}(x))}, est alors une écriture : {\begin{array}{rl}f(x)&=a_{0}\varphi_{0}(x)+a_{1}\varphi_{1}(x)+a_{2}\varphi_{2}(x)+\cdots\\[6pts]&\qquad+a_{n}\varphi_{n}(x)+\text{o}(\varphi_{n}(x))\end{array}}

On note que les développements usuels en {x_{0}} sont un cas particulier de cette situation, quand on utilise l’échelle de comparaison en {x_{0}} définie par les {\varphi_{n}(x)=(x-x_{0})^{n}}.

Il est également possible de définir des développements asymptotiques au voisinage de {+\infty} ou de {-\infty}.

Les échelles de comparaisons les plus utilisées en {0} ou en {\infty} sont :

• les fonctions puissances de {x} ou de {\dfrac{1}{x}} à exposant rationnel
• les fonctions puissances de {\ln x} ou des fonctions du type {x\mapsto x^{p}\ln^{q}(x)}, avec {p,q} dans {\mathbb{Z}}.

Le programme de mathématiques dit que les échelles de comparaison sont hors-programme, et qu’on doit se contenter de quelques exemples de développements asymptotiques « simples ».

Quelques exemples simples

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