Développements limités

Plan du chapitre "Analyse asymptotique"

DL, unicité des coefficients, troncature

Définition (développement limité d'ordre n en un point)
Soit {f:I\to\mathbb{R}} une fonction, et soit {x_0} un élément ou un extrémité de {I}. Soit {n\in\mathbb{N}}.
On dit que {f} admet un développement limité (en abrégé un DL) à l’ordre {n} en {x_0} s’il existe des réels {a_0,a_1,\ldots,a_n} et une fonction {x\mapsto \varepsilon(x)} tels que, pour tout {x} de {I} : {\begin{array}{l}f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^na_k(x-x_0)^k+(x-x_0)^n\varepsilon(x)\\[9pts]\text{\ avec\ }\displaystyle\lim_{x\to x_0}\varepsilon(x)=0\end{array}}

Utilisation des notations « {\text{o}} » ou « {\text{O}} »

Avec les notations de Landau, on écrira plutôt {f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^na_k(x-x_0)^k+\text{o}((x-x_0)^n)}.

Il arrive qu’on utilise les notations {\text{O}} » de Landau dans un développement limité.
Par exemple, si {f(x)=1+2x^2+x^3-x^4+\text{o}(x^4)}, alors {f(x)=1+2x^2+x^3+\text{O}(x^4)}.
Cette dernière écriture contient un peu plus d’informations que {f(x)=1+2x^2+x^3+\text{o}(x^3)}.

Troncature d’un développement limité

Supposons que {f} admette un DL d’ordre {n} en {x_0}. Soit {p} un entier naturel, avec {p\le n}.
Alors {f} admet un DL d’ordre {p} en {x_0}, obtenu par troncature. Plus précisément : {\begin{array}{l}f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^na_k(x-x_0)^k+\text{o}((x-x_0)^n)\\[9pts]\Rightarrow f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^pa_k(x-x_0)^k+\text{o}((x-x_0)^p)\end{array}}Par exemple, si {f(x)=1-x+2x^3+x^4+\text{o}(x^4)}, alors {f(x)=1-x+2x^3+\text{o}(x^3)}.

Proposition (unicité du développement limité)
Soit {f} admettant un DL d’ordre {n} en {x_0} : {f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^na_k(x-x_0)^k+\text{o}((x-x_0)^n)}.
Alors les coefficients {a_0,a_1,\ldots,a_n} sont définis de façon unique.
Le polynôme {P(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^na_k(x-x_0)^k} est appelé partie régulière du développement limité.
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