Comparaison des fonctions

Plan du chapitre "Analyse asymptotique"

Domination, négligeabilité, équivalence

Dans ce paragraphe, on considère un intervalle ${I}$ de ${\mathbb{R}}$ , d’intérieur non vide.
On désigne par ${a}$ un élément ou une extrémité de ${I}$ ( ${a}$ est dans ${\overline{\mathbb{R}}}$ ).

On se limite ici à des fonctions définies sur ${I\setminus\{a\}}$ et à valeurs réelles ou complexes (à valeurs réelles dans la plupart des cas), et qui ne s’annulent pas au voisinage de ${a}$ (elles peuvent être définies et nulles au point ${a}$ lui-même, mais ça n’intervient pas dans les définitions).

Les comparaisons de fonctions ont lieu au voisinage du point ${a}$ , avec ${a}$ dans ${\mathbb{R}}$ , ou ${a=+\infty}$ ou ${a=-\infty}$ (alors que pour les suites, les comparaisons ont lieu uniquement quand ${n}$ tend vers ${+\infty}$ ).

Les définitions suivantes constituent des comparaisons locales de fonctions quand ${x}$ tend vers ${a}$ (on dit aussi, de façon plus informelle mais moins précise, que les comparaisons sont effectuées « en ${a}$ « ).

Les définitions et les propriétés qui en découlent sont très proches de celles vues pour les comparaisons des suites numériques. On se contente donc d’une simple adaptation de ce qui a été dit précédemment.

Définition (fonction dominée par une autre en un point)
Soient

{f}

{g}

deux fonctions de

{I\setminus\{a\}}

, à valeurs dans

{\mathbb{R}}

(ou

{\mathbb{C}}

).
On dit que

{f}

est dominée par

{g}

quand

{x}

tend vers

{a}

(ou en

{a}

) si

{\dfrac{f}{g}}

est bornée au voisinage de

{a}

.
On note alors

{f=\text{O}(g)}

, ou éventuellement

{f=\text{O}_a(g)}

Définition équivalente : il existe ${M\ge0}$ tel que ${|f(x)|\le M|g(x)|}$ au voisinage de ${a}$ .

Définition (fonction négligeable devant une autre en un point)
Soient

{f}

{g}

deux fonctions de

{I\setminus\{a\}}

à valeurs dans

{\mathbb{R}}

(ou

{\mathbb{C}}

).
On dit que

{f}

est négligeable devant

{g}

quand

{x}

tend vers

{a}

(ou en

{a}

) si

{\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=0}

.
On note alors

{f=\text{o}(g)}

, ou éventuellement

{f=\text{o}_a(g)}

Définition équivalente : pour tout ${\varepsilon >0}$ (sous-entendu « ausi petit soit-il ») il existe un voisinage de ${a}$ (dépendant bien sûr de ${\varepsilon}$ ) sur lequel on a l’inégalité ${|f(x)|\le\varepsilon|g(x)|}$ .

Définition (fonction équivalente à une autre en un point)
Soient

{f}

{g}

deux fonctions de

{I\setminus\{a\}}

à valeurs dans

{\mathbb{R}}

(ou

{\mathbb{C}}

).
On dit que

{f}

est équivalente à

{g}

au voisinage de

{a}

(ou en

{a}

) si

{\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=1}

.
On note alors

{f\sim g}

, ou éventuellement

{f\stackrel{a}{\sim}g}

Définition équivalente : dire que ${f\stackrel{a}{\sim}g}$ , c’est dire que ${f-g}$ est négligeable devant ${g}$ en ${a}$ .

Propriétés des relations de comparaison

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