Nombres complexes (3/6)

• Les applications {x\mapsto\sin x} et {x\mapsto\cos x} sont définies sur {\mathbb{R}}, et elles sont {2\pi}-périodiques.
• L’application {x\mapsto\sin x} est impaire et l’application {x\mapsto\cos x} est paire.
• Autrement dit, pour tout réel {x} : {\begin{cases}\cos(x+2\pi)=\cos x\cr\sin(x+2\pi)=\sin x\end{cases}\;\text{et}\;\begin{cases}\cos(-x)=\cos x\cr\sin(-x)=-\sin x\end{cases}}

Les applications {\begin{cases}x\mapsto\sin x\cr x\mapsto\cos x\end{cases}} sont indéfiniment dérivables sur {\mathbb{R}}.

Pour tout {x} réel, et tout {n} de {\mathbb{N}}, on a :{\begin{cases}\cos' x=-\sin x\\\sin' x=\cos x\end{cases}\quad \begin{cases}\cos'' x=-\cos x\\\sin'' x=-\sin x\end{cases}}Plus généralement : {\cos^{(n)}\!x=\cos\Big(x\!+\!n\dfrac\pi2\Big)\;\text{et}\;\sin^{(n)}\!x=\sin\Big(x\!+\!n\dfrac\pi2\Big)}

Courbe {y=\cos x} :

Courbe {y=\sin x} :

{\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|}x&\;0\;&\dfrac\pi6&\dfrac\pi4&\dfrac\pi3&\,\dfrac\pi2\\\\\cos x&1&\dfrac{\sqrt3}2&\dfrac{\sqrt2}2&\dfrac12&0\\\\\sin x&0&\dfrac12&\dfrac{\sqrt2}2&\dfrac{\sqrt3}2&1\end{array}}
{\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|}x&\,\dfrac\pi2\;&\dfrac{2\pi}3&\dfrac{3\pi}4&\dfrac{5\pi}{6}&\pi\\\\\cos x&0&-\dfrac12&-\dfrac{\sqrt2}2&-\dfrac{\sqrt3}2&-1\\\\\sin x&1&\dfrac{\sqrt3}2&\dfrac{\sqrt2}2&\dfrac12&0\end{array}}
On illustre ces valeurs particulières sur le cercle trigonométrique