Inégalités trigonométriques

Exercice 1.
Soit {x,y,z} dans {[0,\pi]}, avec {x+y+z=\pi}.

On pose {S=\sin^2x+\sin^2y+\sin^2z}.

  1. Montrer que {S=-\cos^2x+\cos(y-z)\cos x+2}.
  2. En déduire {S\le\dfrac94}, et préciser le cas d’égalité.

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Exercice 2.
Soient {a,b,c,d} dans {[0,\pi]}.

Montrer que {\sin a+\sin b\le2\sin\dfrac{a+b}{2}}.

En déduire {\sin a\!+\!\sin b\!+\!\sin c\!+\!\sin d\!\le\!4\sin\dfrac{a\!+\!b\!+\!c\!+\!d}{4}}

En déduire {\sin a\!+\!\sin b\!+\!\sin c\!\le\!3\sin\dfrac{a\!+\!b\!+\!c}{3}}

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Exercice 3.
Soit {a,b} dans \mathbb{R}^+ tels que {a+b\le\dfrac\pi2}.

Montrer que {\sin^2a+\sin^2b\le\sin^2(a+b)}. Donner le cas d’égalité.

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Exercice 4.
Trouver le maximum de {\sin^2(x)\sin(2x)} sur {[0,\pi]}.

En déduire l’inégalité : {\Bigl|\displaystyle\prod_{k=0}^{k=n}\sin(2^kx)\Bigr|\le\Bigl(\dfrac{\sqrt3}{2}\Bigr)^n}

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