Limites des suites monotones

Plan du chapitre "Suites numériques"

Proposition (limite d'une suite réelle croissante)
Soit

{(u_n)_{n\ge0}}

une suite croissante de nombres réels.
Si cette suite est majorée, alors elle est convergente.
Plus précisément,

{\lim u_n=\sup\{u_n,n\ge0\}}

.
Si au contraire cette suite n’est pas majorée, alors

{\lim\,u_n=+\infty}

On retiendra le « théorème de la suite monotone » : toute suite réelle monotone possède une limite.

En considérant la suite de terme général ${(-u_n)_{n\ge0}}$ , on en déduit le résultat suivant:

Proposition (limite d'une suite réelle décroissante)
Soit

{(u_n)_{n\ge0}}

une suite décroissante de nombres réels.
Si cette suite est minorée, alors elle est convergente.
Plus précisément,

{\lim u_n=\inf\{u_n,n\ge0\}}

.
Si au contraire cette suite n’est pas minorée, alors

{\lim u_n=-\infty}

Le résultat suivant constitue une sorte de réciproque des deux propositions précédentes:

Proposition
Soit

{X}

une partie non vide majorée de

{\mathbb{R}}

.
Alors il existe une suite

{u}

d’éléments de

{X}

telle que

{\lim u_{n}=\sup X}

.
On peut même faire en sorte que la suite

{u}

soit croissante.
De même, si

{X}

est non vide minorée, il existe une suite décroissante

{u}

{X}

telle que

{\lim u_{n}=\inf X}

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