Extension aux suites complexes

Plan du chapitre "Suites numériques"

Définition (définition d'une suite complexe)
Une suite complexe

{z=(z_{n})_{n\ge0}}

est une fonction de

{\mathbb{N}}

dans

{\mathbb{C}}

.
Elle est définie de façon unique par deux suites réelles

{x,y}

en notant :

{\forall\, n\in\mathbb{N},\;z_{n}=x_{n}+iy_{n}}

.
Il revient au même d’écrire :

{\forall\, n\in\mathbb{N},\;x_{n}=\text{Re}(z_{n})\;\text{et}\; y_{n}=\text{Im}(z_{n})}

.
On dit que

{(x_{n})_{n\ge0}}

est la partie réelle de la suite

{(z_{n})_{n\ge0}}

, et

{(y_{n})_{n\ge0}}

sa partie imaginaire.

Définition (limite d'une suite complexe)
Soit

{(z_n)_{n\ge0}}

une suite de nombres complexes. Soit

{\ell}

un nombre complexe.
On dit que la suite

{z}

tend vers

{\ell}

si :

{\forall\,\varepsilon>0,\exists\, N\in\mathbb{N},\;n\ge N\Rightarrow|z_n-\ell|\le\varepsilon }

On exprime aussi cette situation en disant que la suite

{(z_{n})_{n\ge0}}

est convergente vers

{\ell}

La définition précédente est la même que pour les suites réelles convergentes, mais il s’agit ici du module (qui généralise la notion de valeur absolue dans ${\mathbb{R}}$ ).
La définition précédente peut aussi s’énoncer : la suite ${z}$ tend vers ${\ell}$ si tout disque fermé centré en ${\ell}$ (et de rayon strictement positif) contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.
On a encore la propriété d’unicité de la limite (si existence), ce qui permet d’écrire ${\ell =\lim z_{n}}$ .
Si ${(z_n)_{n\ge0}}$ une suite complexe, ça n’a aucun sens de dire qu’elle tend vers ${+\infty}$ ou ${-\infty}$ .
Si ${(z_n)_{n\ge0}}$ n’admet pas de limite (c’est-à-dire si elle n’est pas convergente), elle est dite divergente.

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