Espaces préhilbertiens (3/3)

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Le supplémentaire orthogonal

P. Supplémentaire orthogonal d'un sev
Soit {E} un espace préhilbertien réel.
Soit {F} un sous-espace de dimension finie de {E}. Alors {E=F\oplus F^\bot}.
On dit que {F^\bot} est le supplémentaire orthogonal de {F}.

Le cadre de résultat est : {F} de dimension finie (mais {E} quelconque). Évidemment, ça marche si {E} est lui-même de dimension finie.

P. Dimension du supplémentaire orthogonal
Soit {E} un espace euclidien, de dimension finie {n}.
Soit {F} un sous-espace vectoriel de {E}.
Alors {\dim(F^{\bot})=n-\dim(F)}.
De plus on a l’égalité {F=(F^{\bot})^{\bot}}. Ainsi {F} est lui-même le supplémentaire orthogonal de {F^\bot}.

En dimension finie, on dira donc que {F,F^{\bot}} sont supplémentaires orthogonaux l’un de l’autre.

P. Supplémentaire orthogonal et b.o.n.
Soit {F} un sous-espace vectoriel de l’espace euclidien {E}.

Si {\mathcal{B}} est une base orthonormale de {F} et si {\mathcal{B}'} est une base orthonormale de {F^\bot}, alors {\mathcal{B}\cup \mathcal{B}'} (obtenue par juxtaposition) est une base orthonormale de {E}.

Réciproquement, si on complète une base orthonormale {\mathcal{B}'(e_1,\ldots,e_p)} de {F} en une base orthonormale {\mathcal{B}(e_1,\ldots,e_p,e_{p+1},\ldots,e_n)} de {E}, alors {\mathcal{B}''(e_{p+1},\ldots,e_n)} est une base orthonormale de {F^\bot}.

R. Un exemple en dimension 3
Soit {E} un espace euclidien de dimension {3}.
Ici, le plan vectoriel {P} et la droite vectorielle {D} sont supplémentaires orthogonaux l’un de l’autre.
Si {(e_1,e_2)} est une base de {P} et si {e_3} est une base de {D}, alors la famille {(e_1,e_2,e_3)} est une base orthonormale de {E} si et seulement si {(e_1,e_2)} est une base orthonormale de {P} et {e_3} est unitaire.

Projection orthogonale

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Distance à un sous-espace

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Formes linéaires et hyperplans

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Distance à un hyperplan, une droite

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