Espaces préhilbertiens (3/3)

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Le supplémentaire orthogonal

P. Supplémentaire orthogonal d'un sev

Soit

{E}

un espace préhilbertien réel.
Soit

{F}

un sous-espace de dimension finie de

{E}

. Alors

{E=F\oplus F^\bot}

.
On dit que

{F^\bot}

est le supplémentaire orthogonal de

{F}

Le cadre de résultat est : ${F}$ de dimension finie (mais ${E}$ quelconque). Évidemment, ça marche si ${E}$ est lui-même de dimension finie.

P. Dimension du supplémentaire orthogonal

Soit

{E}

un espace euclidien, de dimension finie

{n}

.
Soit

{F}

un sous-espace vectoriel de

{E}

.
Alors

{\dim(F^{\bot})=n-\dim(F)}

.
De plus on a l’égalité

{F=(F^{\bot})^{\bot}}

. Ainsi

{F}

est lui-même le supplémentaire orthogonal de

{F^\bot}

En dimension finie, on dira donc que ${F,F^{\bot}}$ sont supplémentaires orthogonaux l’un de l’autre.

P. Supplémentaire orthogonal et b.o.n.

Soit

{F}

un sous-espace vectoriel de l’espace euclidien

{E}

Si ${\mathcal{B}}$ est une base orthonormale de ${F}$ et si ${\mathcal{B}'}$ est une base orthonormale de ${F^\bot}$ , alors ${\mathcal{B}\cup \mathcal{B}'}$ (obtenue par juxtaposition) est une base orthonormale de ${E}$ .

Réciproquement, si on complète une base orthonormale ${\mathcal{B}'(e_1,\ldots,e_p)}$ de ${F}$ en une base orthonormale ${\mathcal{B}(e_1,\ldots,e_p,e_{p+1},\ldots,e_n)}$ de ${E}$ , alors ${\mathcal{B}''(e_{p+1},\ldots,e_n)}$ est une base orthonormale de ${F^\bot}$ .

R. Un exemple en dimension 3

Soit

{E}

un espace euclidien de dimension

{3}

.
Ici, le plan vectoriel

{P}

et la droite vectorielle

{D}

sont supplémentaires orthogonaux l’un de l’autre.
Si

{(e_1,e_2)}

est une base de

{P}

et si

{e_3}

est une base de

{D}

, alors la famille

{(e_1,e_2,e_3)}

est une base orthonormale de

{E}

si et seulement si

{(e_1,e_2)}

est une base orthonormale de

{P}

{e_3}

est unitaire.

E. Exercices conseillés

Projection orthogonale

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Distance à un sous-espace

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Formes linéaires et hyperplans

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Distance à un hyperplan, une droite

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