Espaces préhilbertiens (2/3)

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Orthogonalité

D. Vecteurs orthogonaux
Soit {E} un espace préhilbertien réel.
Deux vecteurs {x,y} sont dits orthogonaux si {\left(x\mid y\right)=0}.

Le seul vecteur à être orthogonal à lui-même est le vecteur nul. A fortiori, le seul vecteur à être orthogonal à tous les vecteurs de {E} est le vecteur nul.

D. Sous-espaces orthogonaux
Soit {F} et {G} deux sous-espaces vectoriels d’un espace préhilbertien réel {E}.
On dit que {F} et {G} sont orthogonaux si : {\;\forall\, x\in F,\;\forall\, y\in G,\;\left(x\mid y\right)=0}Remarque : alors {F} et {G} sont en somme directe.
P. Orthogonal d'un sous-espace
Soit {F} un sous-espace vectoriel d’un espace préhilbertien réel {E}.
On note {F^{\bot}=\{y\in E,\;\forall\, x\in F,\;\left(x\mid y\right)=0\}}.
Ainsi {F^{\bot}} est l’ensemble des vecteurs de {E} qui sont orthogonaux à tous ceux de {F}.
L’ensemble {F^{\bot}} est un sous-espace vectoriel de {E}. On l’appelle l’orthogonal de {F}.
R. Quelques remarques

  • De manière évidente, on a {\{0\}^\bot=E}, et {E^\bot=\{0\}}.
  • Dire que {F,G} sont orthogonaux, c’est dire que {F\subset G^\bot}, ou encore {G\subset F^\bot}.
  • L’espace {F^\bot} est, pour l’inclusion, le plus grand sous-espace de {E} orthogonal à {F}.
  • Si on a {F\subset G}, alors on a {G^\bot\subset F^\bot}.
  • Pour tout sous-espace {F}, on a {F\subset (F^{\bot})^{\bot}} ({F} est inclus dans son « double orthogonal »).
    On verra plus loin que si {F} est de dimension finie, il s’agit d’une égalité.
  • Si {F=\text{Vect}\{x_i,\;i\in I\}}, alors on a l’équivalence : {y\in F^{\bot}\Leftrightarrow\forall\, i\in I,\;\left(y\mid x_{i}\right)=0}

Familles orthogonales

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Procédé de Gram-Schmidt

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Bases orthonormales d’un ev euclidien

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