Espaces préhilbertiens (1/3)

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Espace préhilbertien, ou euclidien

Dans tout le chapitre, {E} désigne un espace vectoriel sur {\mathbb{R}}. De nombreuses définitions et propriétés sont des rappels du programme de première année.

D. Produit scalaire sur un ℝ-espace vectoriel
Un produit scalaire est une application {E\times E\to\mathbb{R}}, notée {(x,y)\mapsto\left(x\mid y\right)} et possédant les propriétés suivantes :

  • caractère bilinéaire :
    {\begin{cases} \left(\alpha x+\beta x'\mid y\right)=\alpha \left(x\mid y\right)+\beta \left(x'\mid y\right)\\ \left(x\mid \alpha y+\beta y'\right)=\alpha \left(x\mid y\right)+\beta \left(x\mid y'\right)\end{cases}}
  • caractère symétrique : {\left(x\mid y\right)=\left(y\mid x\right)}.
  • caractère défini positif : {\left(x\mid x\right)\ge0\;\text{et}\;\left(x\mid x\right)=0\Leftrightarrow x=0}

Un produit scalaire sur {E} est donc une « forme bilinéaire symétrique définie positive ».
Pour désigner un produit scalaire, on utilise aussi les notations {\;x\cdot y\;} ou {\;\lt x,y\gt\;}

D. Espace préhilbertien réel, espace euclidien
Un {\mathbb{R}}-espace vectoriel {E} muni d’un produit scalaire est dit préhilbertien réel.
On appelle espace euclidien tout espace préhilbertien réel de dimension finie.
D. Produit scalaire canonique sur ℝn
Le produit scalaire canonique sur {\mathbb{R}^n} est défini par {\left(x\mid y\right)=\sum\limits_{i=1}^n x_i\,y_i\;\text{où}\;\begin{cases} x=(x_1,\ldots,x_n)\\y=(y_1,\ldots,y_n)\end{cases}}Notation matricielle : si {X,Y} sont les colonnes associées à {x,y} alors {\left(x\mid y\right)={X}^{\top}\,Y}.
D. Produit scalaire canonique sur Mnp(ℝ)
Le produit scalaire canonique sur {\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})} est défini par {\left(A\mid B\right)=\text{tr}\,({A}^{\top}B)}.
Ainsi pour {A=(a_{i,j})} et { B=(b_{i,j})}, on a : {\left(A\mid B\right)=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^{p}\,a_{ij}\,b_{ij}}On a aussi : {\left(A\mid B\right)=\text{tr}\,({A}B^{\top}\!)}.
D. Un produit scalaire sur C([a,b],ℝ)
Soit {E={\mathcal C}^{0}([a,b],\mathbb{R})} l’espace des applications continues de {[a,b]} dans {\mathbb{R}}, avec {a\lt b}.
On définit un produit scalaire sur {E} en posant {\left(f\mid g\right)=\displaystyle\int_a^bf(t)\,g(t)\,\text{d}t}.

On peut généraliser cette définition en utilisant une fonction {\omega} dite « fonction poids ».
Soit {t\mapsto \omega(t)}, continue positive sur {[a,b]} (ne pouvant s’annuler qu’en des points isolés).
Alors on définit un produit scalaire sur {E} en posant {\;\left(f\mid g\right)=\displaystyle\int_a^bf(t)\,g(t)\,\omega(t)\,\text{d}t\;}

Inégalité de Cauchy-Schwarz

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Norme déduite d’un produit scalaire

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Produit scalaire usuel de ℝ2 ou ℝ3

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