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Séries entières et études locales

Exercices sur le thème « Séries entières et études locales ».

(Oral Mines-Ponts)
On pose

{H_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}}

.
Soit

{f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}H_n x^{n}}

{g(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \ln (n) x^{n}}

Donner le rayon de

{f}

{g}

, et calculer

{f(x)}

.
Montrer que

{f(x) \underset{1}\sim g(x)}

et trouver

{\displaystyle\lim_{-1}g(x)}

(Oral Centrale)
Soit

{(a_{n})}

une suite réelle telle que

{\displaystyle\lim_{n\to+\infty}na_{n}=0}

.
Montrer que le rayon de

{\displaystyle\sum a_{n}x^{n}}

est

{R\ge1}

.
Montrer que

{\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty }a_{n}x^{n}=o(\ln (1\!-\!x))}

quand

{x\rightarrow 1^{-}}

(Oral Mines-Ponts 2018)
Préciser le rayon de convergence de

{f(x)=\displaystyle\sum x^{2^{n}}}

.
Donner un équivalent de

{f(x)}

quand

{x\to1}

(Oral Mines-Ponts 2018)
Calculer le rayon

{R}

{f(x)=\displaystyle\sum\limits_{n\geq 1}\tan \left(\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right) x^{n}}

.
Convergence en

{\pm \ R}

? Déterminer

{\displaystyle\lim_{x\to1}(1-x)f(x)}

(Oral Mines-Ponts 2018)
On pose

{a_{n}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}\dfrac{(-1)^{k}}{k+1}}

{f(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a_{n}}{n!}x^{n}}

.
Déterminer le rayon de

{f}

, et

{\displaystyle\lim_{+\infty}e^{-x}f(x)}

.
En déduire un équivalent de

{f}

{+\infty}

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{s_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}u_{k}}

, sachant que

{\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}|u_{k}|}

converge.
Étudier

{U(x) =\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{u_{k}}{k!}x^{k}}

{S(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{s_{k}}{k!}x^{k}}