Géométrie affine

Le théorème de Desargues

Soient {ABC} et {A’B’C’} deux triangles du plan, sans sommets communs.
On suppose que {(AB)\parallel(A’B’)} et {(BC)\parallel(B’C’)}.
Montrer que {(AC)\parallel(A’C’)\Leftrightarrow (AA’),(BB’),(CC’)} sont parallèles ou concourantes.

Le théorème de Pappus

On se donne deux droites distinctes {\mathcal{D}} et {\mathcal{D}’} du plan.
Soient {A,B,C} trois points distincts de {\mathcal{D}}. Soient {A’,B’,C’} trois points distincts de {\mathcal{D}’}.
Montrer que si {\begin{cases}(AB’)\parallel(BA’)\\ (BC’)\parallel(CB’)\end{cases}} alors {(CA’)\parallel(AC’)}.

Le théorème de Ceva

Soient trois droites {\mathcal{D}_A,\mathcal{D}_B,\mathcal{D}_C} passant respectivement par {A,B,C} non alignés, et recoupant respectivement {(BC),(CA),(AB)} en {A’,B’,C’}.
Montrer l’équivalence : {\begin{array}{l}\Bigl(\mathcal{D}_A,\mathcal{D}_B,\mathcal{D}_C\text{\ parallèles ou concourantes\ }\Bigr)\\[12pts]\Leftrightarrow\dfrac{\overline{A’B}}{\overline{A’C}}\cdot\dfrac{\overline{B’C}}{\overline{B’A}}\cdot\dfrac{\overline{C’ A}}{\overline{C’ B}}=-1\end{array}}

Le théorème de Menelaüs

Soient {A,B,C} trois points non alignés, et {A’,B’,C’} sur {(BC),(AC),(AB)}, distincts de {A,B,C}.
Montrer que : {A’,B’,C’} sont alignés si et seulement si : {\dfrac{\overline{A’ B}}{\overline{A’ C}}\cdot\dfrac{\overline{B’ C}}{\overline{B’ A}}\cdot\dfrac{\overline{C’ A}}{\overline{C’ B}}=1}

Le théorème de Thalès

On se donne deux droites distinctes {\mathcal{D}} et {\mathcal{D}’} du plan.
Soient {A,B,C,A’,B’,C’} six points distincts : {A,B,C} sur {\mathcal{D}} et {A’,B’,C’} sur {\mathcal{D}’}.
On suppose que {(AA’)\parallel(BB’)}.
Montrer que : {(AA’)\parallel(CC’)\Leftrightarrow\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AC}}=\dfrac{\overline{A’B’}}{\overline{A’C’}}} (Théorème de Thalès)