Ensembles finis, dénombrements 2

Exercices corrigés

Rétablir l’honnêteté d’une pièce

(Oral Mines-Ponts)
On souhaite corriger le défaut d’une pièce qui renvoie Pile avec la probabilité {p\in\,]0,1[} et {p\ne\dfrac{1}{2}}.
On effectue une succession de deux lancers jusqu’à ce qu’ils soient différents. Quelle est la probabilité que le tout dernier résultat soit Pile?

Des livres sur une étagère

On range {n} livres au hasard sur une étagère, dont {a} sont d’un auteur A, les autres étant d’auteurs tous différents. Donner la probabilité qu’au moins {m} livres de A soient côte à côte dans les cas suivants :
1) {n=20, \; a=3,\; m=3 }, et 2) {n=20, \; a=5, \; m=2}

Femmes célibataires non syndiquées

Dans une entreprise de 800 employés, il y a : 300 hommes, 352 syndiqué(e)s, 424 marié(e)s, 188 hommes syndiqués, 166 hommes mariés, 208 syndiqué(e)s et marié(e)s, 144 hommes mariés syndiqués. Combien y a-t-il de femmes célibataires non syndiquées?