Calcul différentiel (4/4)

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Dérivées partielles d’ordre 2

D. Dérivées partielles d'ordre 2

Soit

{f :U\subset\mathbb{R}^p\to\mathbb{R}}

{{\mathcal C}^{1}}

sur l’ouvert

{U}

.
Les fonctions dérivées partielles

{\partial_{i}f}

sont donc définies et continues sur

{U}

Soit ${a}$ un point de ${U}$ , et soit ${i,j}$ deux indices dans ${\llbracket 1,p\rrbracket}$ .
La ${i}$ -ème dérivée partielle de ${\partial_{j}f}$ en ${a}$ (si elle existe) est notée ${\partial^{2}_{i,j}(a)}$ ou ${\dfrac{\partial{}^2f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}(a)}$ .

Si ${i=j}$ , on écrit ${\dfrac{\partial{}^2f}{\partial x_{i}^{2}}(a)}$ plutôt que ${\dfrac{\partial{}^2f}{\partial x_{i}\,\partial x_{i}}(a)}$ .

On définit ainsi, sous réserve d’existence, les fonctions dérivées partielles secondes de ${f}$ .

Pour des variables nommées ${x,y,z}$ , on note : ${\dfrac{\partial{}^2f}{\partial x\,\partial y}(a),\;\dfrac{\partial{}^2f}{\partial y\,\partial x}(a),\;\dfrac{\partial{}^2f}{\partial x^{2}}(a)}$

D. Fonction de classe C²

Soit

{f :U\subset\mathbb{R}^p\to\mathbb{R}}

, à valeurs dans

{\mathbb{R}}

, de classe

{{\mathcal C}^{1}}

sur l’ouvert

{U}

. on dit que

{f}

est de classe

{\mathcal{C}^{2}}

sur

{U}

si ses fonctions dérivées partielles secondes y sont définies et continues.

P. Le Théorème de Schwarz

Soit

{f :U\subset\mathbb{R}^p\to\mathbb{R}}

{\mathcal{C}^{2}}

sur l’ouvert

{U}

.
Pour tous

{i,j}

distincts, les fonctions dérivées partielles secondes

{\partial^{2}_{i,j}}

{\partial^{2}_{j,i}}

sont identiques.
En d’autres termes, on a :

{\dfrac{\partial{}^2f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}=\dfrac{\partial{}^2f}{\partial x_{j}\,\partial x_{i}}}

E. Exercices conseillés

Exemples d’EDP

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Extremums d’une fonction

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