Calcul différentiel (2/4)

Soit {f} une fonction définie sur un ouvert {U} de {\mathbb{R}^{p}}, à valeurs réelles.
On dit que {f} est {\mathcal{C}^{1}} sur {U} si ses dérivées partielles {\dfrac{\partial f}{\partial x_{i}}} sont définies et continues sur {U}.

Soit {f} et {g} définies sur l’ouvert {U} de {\mathbb{R}^p}, à valeurs dans {\mathbb{R}}, toutes deux de classe {\mathcal{C}^{1}}.

• les fonctions {\lambda f+\mu g} (avec {\lambda,\mu} dans {\mathbb{R}}) et {fg} sont de classe {{\mathcal C}^{1}} sur {U}.
• si {g} ne s’annule pas sur {U} alors {\dfrac1g} et {\dfrac fg} sont de classe {{\mathcal C}^{1}} sur {U}.

Avec la notation {\partial_{i}(f)} pour les dérivées partielles :{\begin{array}{l} \partial_{i}(\lambda f+\mu g)=\lambda\,\partial_{i}(f)+\mu \,\partial_{i}(g)\\[9pt]\partial_{i}(fg)=\partial_{i}(f)\,g+f\,\partial_{i}(g)\\[9pt] \partial_{i}(f^{n})=n\,\partial_{i}(f)\,f^{n-1}\\[9pt] \partial_{i}\Bigl(\dfrac{1}{g}\Bigr)=-\dfrac{\partial_{i}(g)}{g^2}\\[9pt] \partial_{i}\Bigl(\dfrac{f}{g}\Bigr)=\dfrac{\partial_{i}(f)\,g-f\,\partial_{i}(g)}{g^{2}}\end{array}}

• la {i}-ème fonction coordonnée {\pi_{i}}, définie sur {\mathbb{R}^{p}} par {\pi_{i}(x_{1},\ldots,x_{p})=x_{i}}, est de classe {\mathcal{C}^{1}}.
• par combinaison linéaire de produits, toute fonction polynomiale sur {\mathbb{R}^{p}} est {\mathcal{C}^{1}} sur {\mathbb{R}^{p}}.
• par quotient, toute fonction rationnelle sur {\mathbb{R}^{p}} est de classe {\mathcal{C}^{1}} sur son domaine.

Soit {I} un intervalle de {\mathbb{R}}, et {\varphi\in\mathcal{C}^1(I,\mathbb{R})}.
Soit {f\colon U\subset\mathbb{R}^{p}\to \mathbb{R}}, {\mathcal{C}^{1}} sur {U}, avec {f(U)\subset I}.
Alors la fonction {g=\varphi\circ f}, définie sur {U} et à valeurs réelles, est de classe {\mathcal{C}^{1}} sur {U}.

• si {f(x,y)=\varphi\Bigl(\dfrac{y}{x}\Bigr)}, on a : {\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=-\dfrac{y}{x^{2}}\varphi'\Bigl(\dfrac{y}{x}\Bigr)\;\text{et}\;\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\dfrac{1}{x}\varphi'\Bigl(\dfrac{y}{x}\Bigr)}
• la fonction {r :(x,y,z)\mapsto\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} est de classe {\mathcal{C}^{1}} sur {U=\mathbb{R}^{3}\setminus\{(0,0,0)\}}.
  Pour tout {(x,y,z)\ne0}, on a : {\dfrac{\partial r}{\partial x}=\dfrac{x}{r},\;\dfrac{\partial r}{\partial y}=\dfrac{y}{r},\;\dfrac{\partial r}{\partial z}=\dfrac{z}{r}}

• Fonction continue non {\mathcal{C}^{1}}
• Études de f(x,y) en (0,0)