Calcul différentiel (3/4)

Soit {f} une fonction {\mathcal{C}^{1}} sur un ouvert {U\subset\mathbb{R}^{2}}, à valeurs réelles. L’ensemble des points {M(x,y)} tels que {f(x,y)=0} est appelé courbe d’équation {f(x,y)=0}.

• Une courbe peut être vide, mais alors l’intérêt aussi.
• Soit {(\Gamma)} une courbe du plan, et soit {t\in I\mapsto M(t)} un arc paramétré plan. Si {\Gamma=\{M(t),\,t\in I\}}, on dit que l’arc est un paramétrage de {(\Gamma)}.
• On évitera de confondre une courbe {(\Gamma)} (ici un ensemble de points du plan) avec un paramétrage de cette courbe (c’est-à-dire une façon de la parcourir).

Soit {f:U\to\mathbb{R}}, de classe {\mathcal{C}^{1}} sur {U}, et soit {(\Gamma)} la courbe {f(x,y)=0}.
On dit qu’un point {A} de la courbe {(\Gamma)} est régulier si {\nabla f(A)\ne 0}, c’est-à-dire si l’une au moins des deux dérivées partielles de {f} en {A} est non nulle.

Soit {f:U\to\mathbb{R}}, de classe {\mathcal{C}^{1}} sur {U}.
Soit {A} un point régulier de {(\Gamma):f(x,y)=0}.
Alors il existe {\delta>0} et un arc paramétré {t\mapsto M(t)} régulier injectif {\mathcal{C}^{1}} sur un intervalle ouvert {I}, tels que :{(\Gamma)\cap \mathcal{B}(A,\delta)=\{M(t),\;t\in I\}}On dit alors que l’arc {t\mapsto M(t)} est un paramétrage de {(\Gamma)} au voisinage de {A}.
Dire que l’arc est injectif nous assure que chaque point de {(\Gamma)} est, au voisinage de {A}, obtenu pour une unique valeur de {t}.
Il n’y a pas (du tout) unicité d’un tel paramétrage local.

On précise le résultat précédent (les mêmes notations) :

• si {\partial_y f(A)\ne0}, il existe un paramétrage local du type {y=\varphi(x)}, avec {\varphi} de classe {\mathcal{C}^{1}}.
• si {\partial_x f(A)\ne0}, il existe un paramétrage local du type {x=\psi(y)}, avec {\psi} de classe {\mathcal{C}^{1}}.
• Ainsi, au voisinage d’un point régulier, {(\Gamma)} possède (localement) une équation dans laquelle l’une des variables ({y} ou {x}) est fonction de l’autre.

Soit {t\in I\mapsto f(t)=(x(t),y(t))} un paramétrage injectif local de la courbe {(\Gamma):f(x,y)=0} au voisinage d’un point régulier {A(a,b)=M(t_{0})}.
Par définition, la fonction {t\mapsto f(x(t),y(t))} est identiquement nulle sur {I}.
Par dérivation, on en déduit : {\forall\, t\in I,\;x'(t)\dfrac{\partial f}{\partial x}(M(t))+y'(t)\dfrac{\partial f}{\partial y}(M(t))=0}En particulier {\left(M'(t_{0})\mid \nabla f(M(t_{0})\right)=0}.

On sait que {M'(t_{0})} dirige la tangente à {(\Gamma)} en {A=M(t_{0})}. On que cette tangente est aussi la droite passant par {A} et orthogonale à {\nabla f(A)}.
On en déduit la définition ci-après de la tangente en un point régulier de la courbe {f(x,y)=0} où {f} est {\mathcal{C}^{1}}.

Soit {A(a,b)} un point régulier d’une courbe {(\Gamma)} d’équation {f(x,y)=0}, avec {f} de classe {\mathcal{C}^{1}}.
La tangente en {A} à {(\Gamma)} est la droite passant par {A} et orthogonale à {\nabla f(A)}. Son équation est : {(x-a)\dfrac{\partial f}{\partial x}(A)+(y-b)\dfrac{\partial f}{\partial y}(A)=0}On peut dire que la droite passant par {A} et dirigée par {\nabla f(A)} est la normale à la courbe en {A}.