Une forme linéaire sur IR[X]

(Oral Centrale)
Pour tout polynôme

{P}

{\mathbb{R}[X]}

, on pose

{S(P) =\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{P(k)}{k!}}

Montrer que ${S(P)}$ est bien défini, et que ${S}$ est une forme linéaire.
Avec Python, calculer ${\dfrac{1}{\text{e}}\displaystyle\sum_{k=0}^{50}\dfrac{P(k)}{k!}}$ , avec ${P=X^{d}}$ .

Idem avec ${1\le d\le 10}$ , puis ${P = X^{9}+36X^{6}-X^{3}+X^{2}-3}$ . Observations ?
On pose ${H_{0} = 1}$ et, pour ${n\in\mathbb{N}}$ , ${H_{n+1}=(X-n)H_{n}}$ .
Montrer que ${(H_{n})_{n\in\mathbb{N}}}$ est une base de ${\mathbb{R}[X]}$ .
Calculer ${S(H_{n})}$ pour tout ${n\in\mathbb{N}}$ .
Comment calculer ${S(P)}$ pour ${P}$ quelconque?

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