Déterminants (2/3)

Soient {E,F} deux espaces vectoriels sur {\mathbb{K}}. Soit {f} une application de {E^n} dans {\mathbb{K}}, avec {n\ge1}.
On dit que {f} est {n}-linéaire si, pour tout {i\in\{1,\ldots,n\}} et pour tous vecteurs {u_1,\ldots,u_{i-1},u_{i+1},\ldots,u_n}, l’application {f_i\,\colon E\to F} définie par :{f_i(v)=f(u_1,\ldots,u_{i-1},v,u_{i+1},\ldots,u_n)} est linéaire.
Une application {f\colon E^n\to F} est donc {n}-linéaire (on dit aussi « multilinéaire ») si elle est « linéaire par rapport à chacune de ses variables quand on fixe toutes les autres ».

• Pour {n=1}, la {n}-linéarité se confond avec la linéarité.
  Si {n=2}, on parle d’application bilinéaire. Si {n=3}, on parle d’application trilinéaire.
  Si {F=\mathbb{K}}, on parle de forme {n}-linéaire.
• Si {f:E^n\to F} est {n}-linéaire et si l’un des {u_i} est nul, alors {f(u_1,u_2,\ldots,u_n)=0}.
  Cela résulte en effet de la linéarité par rapport à la {i}-ième composante.
• Une application {f} de {E^2} dans {F} est bilinéaire si et seulement si, pour tous vecteurs {x,y,u,v} de {E}, et pour tous scalaires {\alpha,\beta,\gamma,\delta} : {\begin{array}{l}f(\alpha x+\beta y,\gamma u+\delta v)\\[6pts]=\alpha f(x,\gamma u+\delta v)+\beta f(y,\gamma u+\delta v)\\[6pts]=\alpha\gamma f(x,\!u)\!+\!\alpha\delta f(x,\!v)\!+\!\beta\gamma f(y,\!u)\!+\!\beta\delta f(y,\!v)\end{array}}
• Si {n\ge 2}, on ne confondra pas linéarité et {n}-linéarité.
  Par exemple, si {f} est linéaire :
  {f(\lambda u_1,\lambda u_2,\ldots,\lambda u_n)=\lambda f(u_1,u_2,\ldots,u_n)}Mais si {f} est {n}-linéaire : {f(\lambda u_1,\lambda u_2,\ldots,\lambda u_n)=\lambda^n f(u_1,u_2,\ldots,u_n)}De même, si {n=2}, et si {f} est linéaire : {\begin{array}{rl}f(x+y,u+v)&=f(x,u)+f(y,v)\\[6pts]&=f(x,v)+f(y,u)\end{array}}Toujours si {n=2}, mais si {f} est bilinéaire :
  {\begin{array}{l}f(x+y,u+v)\\[6pts]=f(x,u)+f(x,v)+f(y,u)+f(y,v)\end{array}}