Dérivabilité et convexité (3/3)

On rappelle que {I} désigne un intervalle de {\mathbb{R}} d’intérieur non vide.
Soit {f:I\to\mathbb{R}} une fonction numérique réelle définie sur l’intervalle {I}. On pose {f^{(0)}=f}.
Si la fonction {f^{(k)}}, avec {k} dans {\mathbb{N}}, est définie et dérivable sur {I}, on pose {f^{(k+1)}=(f^{(k)})'}.
Si {f^{(k)}} est définie sur {I}, on dit que {f} est {k} fois dérivable sur {I}.
La fonction {f^{(k)}} est appelée dérivée {k}-ième de {f} sur {I}. On peut la noter {\text{D}^k(f)} ou {\dfrac{\text{d}^{k}f}{\text{d}\,x^k}}.

On note {f''} et {f'''}, plutôt que {f^{(2)}} et {f^{(3)}}, les dérivées seconde et troisième de {f}.

Évidemment toujours, on ne confondra jamais les notations {f^{(k)}} et {f^{k}}.

Soit {f:I\to\mathbb{R}} une fonction numérique définie sur l’intervalle {I}. Soit {k} un entier naturel.
Si {f:I\to\mathbb{R}} est {k} fois dérivable, et si {f^{(k)}} est continue sur {I}, on dit que {f}est de classe {\mathcal{C}^k} sur {I}.
On dit que {f} est de classe {\mathcal{C}^\infty} sur {I} si {f} est indéfiniment dérivable sur {I}.
On note {{\mathcal C}^k(I,\mathbb{R})} l’ensemble des fonctions de classe {\mathcal{C}^k} de {I} dans {\mathbb{R}} (avec {k\in\mathbb{N}\cup\{+\infty\}}).

• Si {f} est de classe {\mathcal{C}^{k}} sur {I}, avec {k\ge1}, toutes les fonctions dérivées {j}-ièmes, avec {0\le j\lt k} sont évidemment continues sur {I} puisqu’elles y sont (au moins une fois) dérivables.
• On dit souvent d’une fonction de classe {\mathcal{C}^k} qu’elle est « {k} fois continûment dérivable ».
• Dire que {f} est de classe {{\mathcal C}^0}, c’est dire que {f} est continue.
  Pour tout {k} de {\mathbb{N}}, on a bien sûr {\mathcal{C}^{k+1}(I,\mathbb{R})\subset{\mathcal{C}}^k(I,\mathbb{R})}. Par ailleurs {\mathcal{C}^\infty(I,\mathbb{R})=\displaystyle\bigcap_{k\in\mathbb{N}}\mathcal{C}^k(I,\mathbb{R})}.
• On dit parfois « {f} est {\mathcal{C}^{k}} sur {I} » plutôt que « {f} est de classe {\mathcal{C}^{k}} sur {I}« .
• On a {f^{(k)}\equiv0} sur {I} si seulement si {f} est une fonction polynomiale, avec {\deg(f)\lt k}.