Dérivabilité et convexité (1/3)

Dans tout ce chapitre, on considère des fonctions qui sont définies sur un intervalle {I} de {\mathbb{R}} non réduit à un point, et qui sont à valeurs dans {\mathbb{R}}.

On se place au voisinage d’un point {A(a,f(a))} de la courbe représentative {(\Gamma)} de {f}.

Soit {M(x,f(x))} un point mobile sur {(\Gamma)}, avec {x\ne a}.

La droite {\Delta_{x}} passant par {A} et {M} a pour coefficient directeur de {\Delta_{x}} est {\delta_{x}=\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}}.

Quand {x} tend vers {a} (donc sur la figure ci-dessous quand {M} se rapproche de {A} sur {(\Gamma)}) on examine si {\Delta_{x}} (qui pivote autour de {A}) possède une position limite {\Delta} (c’est-à-dire si {\delta_{x}} possède une valeur limite).

Si tel est le cas, on dit que la droite {\Delta} est la tangente en {A} à la représentation graphique {(\Gamma)}.

Soit {f:I\to\mathbb{R}} une fonction numérique réelle. Soit {a} un élément de {I}.
On dit que {f} est dérivable en {a} si {\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}} existe dans {\mathbb{R}}.
Cette limite est appelée nombre dérivé de {f} en {a} et est notée {f'(a)}, ou {D(f)(a)}, ou {\dfrac{\text{d}f}{\text{d}x}(a)}.

Dire que {f} est dérivable en {a}, c’est dire que la courbe représentative {(\Gamma)} de {f} présente au point {A(a,f(a))} une tangente {\Delta} non verticale : son coefficient directeur est {f'(a)}.

L’équation de la droite {\Delta} est donc {y=f(a)+(x-a)f'(a)}.

Soit {f:I\to\mathbb{R}} une fonction numérique réelle. Soit {a} un élément de {I}. Dire que {f} est dérivable en {a}, c’est dire qu’il existe {\ell\in\mathbb{R}} et une fonction {\varepsilon : I\to\mathbb{R}} vérifiant {\displaystyle\lim_{x\to a}\varepsilon(x)=0} et {\varepsilon(a)=0}, avec :{\forall\, x\in I,\,f(x)\!=\!f(a)\!+\!(x\!-\!a)\ell\!+\!(x\!-\!a)\varepsilon(x)}Au sens de la définition précédente, le réel {\ell} est le nombre dérivé {f'(a)}.

Représentons la courbe {(\Gamma)} de {f} au voisinage de {A(a,f(a))}, et la tangente {\Delta} (non verticale) en {A}.

Plaçons également deux points {M_{0}} et {M_{1}} sur {(\Gamma)} d’abscisses respectives {x_{0}} et {x_{1}}.

On sait que l’équation de la tangente en {A} à {(\Gamma)} est : {y=f(a)+(x-a)f'(a)}.

Dans l’illustration ci-dessous, on a les coordonnées : {\begin{array}{l}\begin{cases}H_{0}(x_{0},f(a))\\N_{0}(x_{0},f(a)+(x_{0}-a)f'(a))\\M_{0}(x_{0},f(x_{0})\end{cases}\\\\\text{et}\;\begin{cases}H_{1}(x_{1},f(a))\\N_{1}(x_{1},f(a)+(x_{1}-a)f'(a))\\M_{1}(x_{1},f(x_{1})\end{cases}\end{array}}Si on parle en termes de mesures algébriques sur un axe vertical (dirigé vers le haut), alors :
{\begin{array}{c}\begin{cases}\overline{H_{0}N_{0}}=(x_{0}-a)f'(a)\cr \overline{H_{1}N_{1}}=(x_{1}-a)f'(a)\end{cases}\begin{cases}\overline{H_{0}M_{0}}=f(x_{0})-f(a)\cr \overline{H_{1}M_{1}}=f(x_{1})-f(a)\end{cases}\\\\\begin{cases}\overline{N_{0}M_{0}}=f(x_{0})-f(a)-(x_{0}-a)f'(a)\cr \overline{N_{1}M_{1}}=f(x_{1})-f(a)-(x_{1}-a)f'(a)\end{cases}\end{array}}

Avec les notations de la proposition précédente, on a donc {\begin{cases}\overline{N_{0}M_{0}}=(x_{0}-a)\varepsilon(x_{0})\cr \overline{N_{1}M_{1}}=(x_{1}-a)\varepsilon(x_{1})\end{cases}}

Ce que dit la dérivabilité de {f} en {a}, c’est qu’au voisinage immédiat de {A} une mesure algébrique comme {\overline{N_{0}M_{0}}} est négligeable devant {\overline{H_{0}N_{0}}} (ça ne saute pas aux yeux sur l’illustration car on s’est placé finalement très loin de {a}).

En termes imagés, la dérivabilité de {f} en {a} nous dit que la différence {f(x)-f(a)} (donc l’accroissement de {f} entre {a} et {x}) est approché par {f'(a)(x-a)} (donc proportionnellement à l’accroissement {x-a} de la variable), avec un terme d’erreur qui est lui-même négligeable devant {x-a}.

En termes plus géométriques (mais pas tellement plus précis) la tangente {\Delta} à {(\Gamma)} en {A(a,f(a))} est une « bonne approximation » de la courbe au voisinage de {A}.

Soit {f:I\to\mathbb{R}} une fonction numérique, et soit {a} un point de {I}.
Si {f} est dérivable {a}, alors {f} est continue en {a}.La réciproque est fausse : penser à {x\mapsto\left|x\right|} en {0}.