Calculs algébriques (2/3)

On pose {0!=1}, et pour tout {n} de {\mathbb{N}^{*}}, on note {n!=n\;(n-1)!}.
C’est un exemple de définition récursive.
Le symbole {n!} se lit « factorielle {n}« .
Pour tout {n\in\mathbb{N}^{*}}: {n!=\prod\limits_{k=1}^nk}
On retiendra les valeurs : {0!=1}, {1!=1}, {2!=2}, {3!=6}, {4!=24}, {5!=120}, {6!=720}, {7!=5040}.

• L’entier {n!} désigne le nombre de permutations d’un ensemble à {n} éléments (c’est-à-dire de bijections de cet ensemble sur lui-même). Par exemple les {3!=6} permutations des lettres du mot {abc} sont : {abc}, {acb}, {bac}, {bca}, {cab} et {cba}.
• La formule de Stirling dit que, quand {n\to\infty}, le rapport de {n!} et de {n^{n}\text{e}^{-n}\sqrt{2\pi n}} tend vers 1.
  Par exemple, pour {n=20}, on a {\begin{cases}n!=2432902008176640000\\n!/\big(n^{n}\text{e}^{-n}\sqrt{2\pi n}\big)\approx 1.004\end{cases}}

Soient {n} et {p} deux entiers, avec {0\le p\le n}. Soit {E} un ensemble fini possédant {n} éléments.
On note {\dbinom{n}{p}} le nombre de sous-ensemble de {E} possédant {p} éléments.

• L’ensemble {E} dont il est question ici est évidemment sans importance.
  Par exemple, dans {E=\{a,b,c,d,e\}}, il y a {10} parties à trois éléments, qui sont {\{a,b,c\}}, {\{a,b,d\}}, {\{a,b,e\}}, {\{a,c,d\}}, {\{a,c,e\}}, {\{a,d,e\}}, {\{b,c,d\}}, {\{b,c,e\}}, {\{b,d,e\}}, {\{c,d,e\}}
• Le coefficient {\dbinom{n}{p}} se lit « {p} parmi {n}« .
• Si {E} a {n} éléments, il y a dans {E} une seule partie vide, et une seule partie à {n} éléments ({E} lui-même. Ainsi {\dbinom{n}{0}=\dbinom{n}{n}=1}.
• On étend la définition avec {\dbinom{n}{p}=0} si {p\lt 0} ou {p>n} (c’est logique).

Si {0\le p\le n}, alors : {\dbinom{n}{p}=\dfrac{n!}{p!\,(n-p)!}}