Polynômes et suite de Fibonacci

(Oral Centrale Mp)
On pose {F_1=1}, {F_2=2} et : {\forall\, n \in \mathbb{N}^*,\;F_{n+2}=F_{n+1}+F_n}.

On pose {P_0=1} et : {\forall\, n \in \mathbb{N}^*,\;P_n(X)=\displaystyle\prod_{k=1}^{n}(1-X^{F_k})}.

Dans tout l’exercice, on identifiera polynôme et fonction polynomiale.

    • Calculer {P_1,P_2,P_3,P_4}. Que conjecturer sur les coefficients de {P_{n}}?

    • Montrer que les coefficients de {P_n} sont bornés par {2^n}.
    • Établir que {X^{n+1}} divise {P_{n+1}-P_n}.
  1. Montrer que {(P_n)_{n\ge0}} converge uniformément sur tout segment de {]-1,1[}.

  2. On note {f} la fonction limite de la suite {(P_{n})_{n\ge0}}.

    On note {a_n} le coefficient de {X^n} dans {P_n}.

    Montrer que : {\forall\, x \in \Big]-\dfrac 12, \dfrac 12\Big[,\;f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_n x^n}.

    Comment améliorer ce résultat, en admettant que la conjecture de {(1)} est vraie?

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    • On trouve : {P_{1}=1-x} et {P_{2}=(1-x^{2})P_{1}=1-x-x^{2}+x^{3}}

      Ensuite : {P_{3}=(1-x^{3})P_{2}= 1-x-x^{2}+x^{4}+x^{5}- x^{6}}

      Enfin : {P_{4}=(1-x^{5})P_{3}=1-x-x^{2}+x^{4}+x^{7}-x^{9}-x^{10}+x^{11}}

      On conjecture que les coefficients de {P_n} sont dans {\{-1,0,1\}}.

    • On sait que {P_{n+1}=P_n - X^{F_{n+1}} P_n}.

      Si les coefficients de {P_n} sont bornés par {2^n}, ceux de {P_{n+1}} sont donc bornés par {2^{n+1}}.

    • Enfin {X^{n+1}\mid X^{F_{n+1}}} car {F_{n+1} \geq n+1} donc {X^{n+1}\mid (P_{n+1}-P_n)}.
  1. Soit {a \in\,]0,1[} et {x \in [-a,a]}.

    Alors : {|P_{n+1}(x)-P_n(x)| \leq a^{F_{n+1}} | P_n(x)|}.

    Notons {P_{n}=\displaystyle\sum_{k\ge0}a_{n,k}X^{k}}, avec {\left|a_{n,k}\le 2^{n}\right|}.

    On a : {|P_n(x)| \leq 2^n(1+a+\cdots+a^d) \leq \dfrac{2^n}{1-a}}.

    Il vient donc : {|P_{n+1}(x)-P_n(x)| \leq \dfrac{2^n a^{F_{n+1}} }{1-a}}. Posons {\alpha_n=2^n a^{F_{n+1}}}.

    Alors {\dfrac{\alpha_{n+1}}{\alpha_n}=2a^{F_{n+2}-F_{n+1}}=2 a^{F_{n}} \to 0} donc {\sum \alpha_n} converge.

    Ainsi {\sum (P_{n+1}-P_n)} est CVN donc CVU sur {[-a,a]}.

    Donc la suite {(P_n)} est CVU sur {[-a,a]}.

  2. On a {|a_n| \leq 2^n} donc le rayon de CV de {f(x)} est au moins {\dfrac 12}.

    On sait que {X^{n+1}\mid(P_{n+1}-P_n)}.

    Donc {P_{n}} et {P_{n+1}} ont les mêmes coefficients jusqu’au degré {n}.

    Ainsi : {\forall\, n\in\mathbb{N},\;a_{n,0}=a_0, \cdots, a_{n,n}=a_n}.

    Soit {x \in \Big]-\dfrac 12, \dfrac 12\Big[}. On a : {\Big|\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}a_k x^k - P_n(x)\Big| = \Big|\displaystyle\sum_{k=n+1}^{+\infty}a_k x^k - \displaystyle\sum_{k=n+1}^{+\infty}a_{n,k} x^k\Big|}De plus, on a l’inégalité :{\Big|\displaystyle\sum_{k=n+1}^{+\infty}a_k x^k - \displaystyle\sum_{k=n+1}^{+\infty}a_{n,k}x^k\Big| \leq \displaystyle\sum_{k=n+1}^{+\infty} |a_k - a_{n,k}| |x|^k }Sachant que {|a_k-a_{n,k}|\leq 2. 2^k}, il vient : {\Big|\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}a_k x^k - P_n(x)\Big| \leq 2 \displaystyle\sum_{k=n+1}^{+\infty} (2|x|)^k\stackrel{n\to+\infty}{\longrightarrow} 0}On a donc bien {f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}a_k x^k}.

    La conjecture est vraie (cf: http://arxiv.org/pdf/math/0409418v1.pdf) donc {|a_n| \leq 1}.

    Les calculs précédents peuvent alors être repris avec {x \in\,]-1,1[} quelconque.

    Ainsi, {f} est développable en série entière de rayon de convergence {1}.