Problèmes corrigés d’algèbre Mpsi, Pcsi

Voici les problèmes d’algèbre que j’ai donnés, au fil des années, dans ma classe de MPSI du lycée Saint-Louis, au titre de “devoirs à la maison”.
Compte tenu du nombre important de problèmes mis en ligne sur ce site, j’ai opté pour une distinction “Algèbre/Analyse” qui est une simple commodité de classement.

Raisonnements, calculs algébriques

Entiers naturels, dénombrements (énoncé) (corrigé)
Raisonnements+récurrences+Python (énoncé) (corrigé)
Raisonnements par l’absurde (énoncé) (corrigé)
Ensembles normaux pour une appn (énoncé) (corrigé)
Exercices de début d’année (énoncé) (corrigé)
Exercices variés (énoncé) (corrigé)

Ensembles finis, dénombrements

Déplacements dans ZxN (énoncé) (corrigé)
Surjections entre ensembles finis (énoncé) (corrigé)
Partitions d’un ensemble fini (énoncé) (corrigé)
Parties infinies de N (énoncé) (corrigé)
Dérangements d’ensembles finis (énoncé) (corrigé)
Lancers de dés chanceux (énoncé) (corrigé)

Polynômes, fractions rationnelles

Une suite de polynômes (énoncé) (corrigé)
Équation P(X^2)=P(X+a)P(X+b) (énoncé) (corrigé)
Polynômes de Chebyshev (énoncé) (corrigé)
Polynômes d’endomorphismes (énoncé) (corrigé)
Points d’équilibre dans le plan (énoncé) (corrigé)
Polynômes P(X) divisant P(X^n) (énoncé) (corrigé)

Algèbre linéaire, matrices, déterminants

Crochet de Lie (énoncé) (corrigé)
Déterminants circulants (énoncé) (corrigé)
Matrices et Pythagore (énoncé) (corrigé)
Sommes de projecteurs (énoncé) (corrigé)
Transposition d’un endomorphisme (énoncé) (corrigé)
Deux problèmes de calcul matriciel (énoncé) (corrigé)
Étude d’une algèbre de matrices (énoncé) (corrigé)
Famille de matrice et déterminants (énoncé) (corrigé)
Famille de matrices orthogonales (énoncé) (corrigé)
Décomposition LU d’une matrice (énoncé) (corrigé)
Étude d’une famille de matrices (énoncé) (corrigé)
Matrices et carrés magiques (énoncé) (corrigé)
Systèmes à diagonale dominante (énoncé) (corrigé)
Un système tridiagonal symétrique (énoncé) (corrigé)
Une famille de matrices 3×3 (énoncé) (corrigé)
Déterminants de Hankel (énoncé) (corrigé)
Déterminants, translatées d’une appn (énoncé) (corrigé)

Produits scalaires, espaces euclidiens

Matrices de Gram (énoncé) (corrigé)
Familles obtusangles (énoncé) (corrigé)