Problèmes d’approfondissement Mpsi, Pcsi

Je mets sur cette page des problèmes de mathématiques, considérés comme des problèmes d’approfondissement, tous accompagnés d’un corrigé très détaillé.
Ces problèmes sont peut-être devenus un peu difficiles avec l’évolution des programmes, mais je pense qu’ils peuvent encore intéresser des étudiants très motivés.

Logique, ensembles, applications

Problèmes de logique (énoncé) (corrigé)
Pavages et clans (énoncé) (corrigé)
Filtres et ultrafiltres (énoncé) (corrigé)
Itérées d’une appln d’un ensemble fini (énoncé) (corrigé)
Théorème de Cantor-Bernstein (énoncé) (corrigé)
Équations dans P(E) (énoncé) (corrigé)
Trois relations identiques dans P(E) (énoncé) (corrigé)
Véridiques menteurs et changeants (énoncé) (corrigé)

Entiers naturels, dénombrements, récurrences

Bijections de N^k sur N (énoncé) (corrigé)
Cycles et nombres de Stirling (énoncé) (corrigé)
Petite encyclopédie des nombres de Catalan (énoncé) (corrigé)
Nombres de Stirling de seconde espèce (énoncé) (corrigé)
Récurrences de bon niveau (énoncé) (corrigé)

Nombres réels ou complexes

Fractions continues (énoncé) (corrigé)
Pépites extraites du nombre d’or (énoncé) (corrigé)
Suite de Fibonacci (énoncé) (corrigé)
Entiers de Gauss (énoncé) (corrigé)
Homographies du plan complexe (énoncé) (corrigé)
Exercices de bon niveau sur les nombres réels (énoncé) (corrigé)

Structures algébriques

Valeurs absolues sur Q (énoncé) (corrigé)
Polynômes trigonométriques positifs (énoncé) (corrigé)
Sous-groupes de R+ et morphismes croissants (énoncé) (corrigé)
Sous-groupes distingués (énoncé) (corrigé)
Idéaux et blocs dans un anneau (énoncé) (corrigé)
Groupes ordonnés (énoncé) (corrigé)
Une structure algébrique (énoncé) (corrigé)
Dérivations dans un anneau (énoncé) (corrigé)

Arithmétique

Arithmétique des anneaux intègres (énoncé) (corrigé)
Structure des groupes abéliens finis (énoncé) (corrigé)
Extensions quadratiques de Q (énoncé) (corrigé)
Fonctions arithmétiques multiplicatives (énoncé) (corrigé)
Polynômes cyclotomiques (énoncé) (corrigé)
Sous-groupes et arithmétique (énoncé) (corrigé)
Entiers parfaits pairs (énoncé) (corrigé)
Le postulat de Bertrand (énoncé) (corrigé)
Inégalités de Chebyshev et applications (énoncé) (corrigé)
L’indicatrice d’Euler (énoncé) (corrigé)

Géométrie, arcs du plan

Faisceaux de cercles (énoncé) (corrigé)
Point de Fermat d’un triangle (énoncé) (corrigé)
Droite de Simson et cercle de Miquel (énoncé) (corrigé)
Théorème de Morley (énoncé) (corrigé)
Exercices sur les coniques (énoncé) (corrigé)
Une famille d’arcs paramétrés (énoncé) (corrigé)
Développantes d’astroïde (énoncé) (corrigé)
Propriétés de la cardioïde (énoncé) (corrigé)
Podaires d’une parabole (énoncé) (corrigé)
Étude de la deltoïde (énoncé) (corrigé)