Une base de Kn[X]

(Exercice d’oral Mines-Ponts 2017)
Soient {P\in \mathbb{K}[X]}, de degré {n}, et soient {a_{0},...,a_{n}} distincts dans {\mathbb{K}}.
Montrer que les polynômes {P_j(X)=P(X+a_{j})} forment une base de {\mathbb{K}_{n}[X]}.
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On connaît la formule de Taylor pour les polynômes : {P(X)=\displaystyle\sum_{i\ge 0}\dfrac{P^{(i)}(\lambda)}{i!}(X-\lambda)^i}Ainsi {P(\lambda+X)=\displaystyle\sum_{i\ge 0}\dfrac{P^{(i)}(\lambda)}{i!}X^{i}}.

Ou encore : {\forall(a,\lambda)\in\mathbb{K}^2,\;P(\lambda+a)=\displaystyle\sum_{i\ge 0}a^{i}\,\dfrac{P^{(i)}(\lambda)}{i!}}.

Si on fixe {a\in\mathbb{K}}, on a obtenu une égalité entre deux fonctions polynomiales en {\lambda}.

Il en résulte les égalités formelles entre polynômes : {\forall\, a\in\mathbb{K},\;P(X+a)=\sum_{i\ge 0}a^{i}\,\frac{P^{(i)}(X)}{i!}}Avec les notations de l’énoncé (donc {\deg(P)=n}) on a : {\forall\, j\in[[ 0,n]],\;P_j(X)=\sum_{i=0}^{n}a_j^i\,\frac{P^{(i)}(X)}{i!}\quad(\star)}Les {\dfrac{P^{(i)}(X)}{i!}} (avec {0\le i\le n}), échelonnés en degrés, forment une base {\mathcal{B}} de {\mathbb{K}_n[X]}.

{(\star)} dit que la matrice {M} des {P_j} dans {\mathcal{B}} a pour coefficients {m_{i,j}=a_{j}^{i}} ({0\le i,j\le n}).

C’est une matrice de Vandermonde (ou sa transposée), inversible car les {a_j} sont distincts.

Il en résulte que la famille {P_0,P_1,\ldots,P_n} est une base de {\mathbb{K}_n[X]}.