Les racines du polynôme dérivé

(Exercice d’oral Centrale Mp)
Pour tout {n} de {\mathbb{N}^*}, on pose : {P_{n}=\displaystyle\prod_{k=0}^{n}(X-k)\text{\ et\ }R_{n}=\dfrac{P_{n}'}{P_{n}}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{X-k}}

  1. Pour {n>k\ge 0}, montrer que {P'_{n}} a une unique racine {\lambda_{n,k}} dans {]k,k+1[}.
  2. On fixe la valeur de l’entier {k} (donc l’intervalle {]k,k+1[}).

    • Prouver que la suite {(\lambda_{n,k})_{n>k}} est strictement décroissante.
      On note {\ell_{k}=\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\lambda_{n,k}}.
    • Pour {n\ge k+1}, prouver : {\dfrac{1}{\lambda_{n,k}-k}>\displaystyle\sum_{j=1}^{n-k}\dfrac{1}{j}-\displaystyle\sum_{j=1}^{k}\dfrac{1}{j}}.
      En déduire {\ell_{k}=k}.
    • D’une manière analogue, majorer {\dfrac{1}{\lambda_{n,k}-k}} pour {n\ge k+2}.
      En déduire {\lambda_{n,k}-k\sim\dfrac{1}{\ln(n)}} quand {n\to+\infty}

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  1. Rolle nous dit que {P'_{n}} a une racine dans chacun des {n-1} intervalles {]k,k+1[}.

    Comme {\deg P'_{n}=n-1}, c’est fini.

    • On connait les inégalités {k\lt \lambda_{n,k}\lt k+1\le n}, pour {n>k}.

      Pour {x\notin\{0,1,\ldots,n\}}, on a {R'_{n}(x)=-\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{(x-k)^2}\lt 0}.

      Ainsi {x\mapsto R_{n}(x)} est bijective strictement décroissante de {]k,k+1[} sur {\mathbb{R}}.

      Si {n\ge k+2}, on a {R_{n}(x)-R_{n-1}(x)=\dfrac{1}{x-n}}.

      En particulier {R_{n}(\lambda_{n-1,k})=\dfrac{1}{\lambda_{n-1,k}-n}\lt 0}.

      On a alors l’inégalité {R_{n}(\lambda_{n-1,k})\lt R_{n}(\lambda_{n,k})}.

      Cela assure que {k\lt \lambda_{n,k}\lt \lambda_{n-1,k}\lt k+1}.

      La suite {(\lambda_{n,k})_{n>k}} est donc strictement décroissante.

      Elle est minorée donc convergente, et sa limite {\ell_{k}} vérifie {k\le\ell_{k}\lt k+1}.

    • Pour tout {n>k}, on a {R_{n}(\lambda_{n,k})=\displaystyle\sum_{j=0}^{n}\dfrac{1}{\lambda_{n,k}-j}=0}.

      En isolant le terme d’indice {k}, cela peut s’écrire : {\dfrac{1}{\lambda_{n,k}-k}=-\displaystyle\sum_{j=0}^{k-1}\dfrac{1}{\lambda_{n,k}-j}+\displaystyle\sum_{j=k+1}^{n}\dfrac{1}{j-\lambda_{n,k}}}Si {0\le j\lt k}, on a {\lambda_{n,k}-j>k-j\ge1}.

      On en déduit : {-\displaystyle\sum_{j=0}^{k-1}\dfrac{1}{\lambda_{n,k}-j}>-\displaystyle\sum_{j=0}^{k-1}\dfrac{1}{k-j}=-\displaystyle\sum_{j=1}^{k}\dfrac{1}{j}}

      Si {j>k}, on a {0\lt j-\lambda_{n,k}\lt j-k}.

      On en déduit alors : {\displaystyle\sum_{j=k+1}^{n}\dfrac{1}{j-\lambda_{n,k}}>\displaystyle\sum_{j=k+1}^{n}\dfrac{1}{j-k}=\displaystyle\sum_{j=1}^{n-k}\dfrac{1}{j}}

      Ainsi : {\dfrac{1}{\lambda_{n,k}-k}>\displaystyle\sum_{j=1}^{n-k}\dfrac{1}{j}-\displaystyle\sum_{j=1}^{k}\dfrac{1}{j}}, pour tout {n>k}.

      Par ailleurs, on sait que {\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle\sum_{j=1}^{n-k}\dfrac{1}{j}=+\infty}.

      De l’inégalité précédente, on tire donc {\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{\lambda_{n,k}-k}=+\infty}.

      En d’autres termes, {\ell_{k}=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\lambda_{n,k}=k}.

    • On reprend comme au début de (2b).

      Mais il faut en plus isoler le terme d’indice {j=k+1}. Ainsi :{\dfrac{1}{\lambda_{n,k}-k}=-\displaystyle\sum_{j=0}^{k-1}\dfrac{1}{\lambda_{n,k}-j}+\dfrac{1}{k+1-\lambda_{n,k}}+\displaystyle\sum_{j=k+2}^{n}\dfrac{1}{j-\lambda_{n,k}}}Si {0\le j\lt k}, on a {0\lt \lambda_{n,k}-j\lt k+1-j}.

      On en déduit : {-\displaystyle\sum_{j=0}^{k-1}\dfrac{1}{\lambda_{n,k}-j}\lt-\displaystyle\sum_{j=0}^{k-1}\dfrac{1}{k+1-j}=-\displaystyle\sum_{j=2}^{k+1}\dfrac{1}{j}}

      Si {j\ge k+2}, on a les inégalités : {0\lt \displaystyle\sum_{j=k+2}^{n}\dfrac{1}{j-\lambda_{n,k}}\lt \displaystyle\sum_{j=k+2}^{n}\dfrac{1}{j-(k+1)}=\displaystyle\sum_{j=1}^{n-k-1}\dfrac{1}{j}}Enfin, on sait que : {k\lt \lambda_{n,k}\lt \lambda_{k,k+1}\lt k+1}.

      On en déduit : {0\lt \dfrac{1}{k+1-\lambda_{n,k}}\lt \dfrac{1}{k+1-\lambda_{k,k+1}}}

      Ainsi : {\dfrac{1}{\lambda_{n,k}-k}\lt \displaystyle\sum_{j=1}^{n-k-1}\dfrac{1}{j}+\dfrac{1}{k+1-\lambda_{k,k+1}}-\displaystyle\sum_{j=2}^{k+1}\dfrac{1}{j}}.

      Par ailleurs {\displaystyle\sum_{j=1}^{n}\dfrac1j\stackrel{+\infty}\sim\ln(n)}.

      L’encadrement obtenu pour {\dfrac{1}{\lambda_{n,k}-k}} donne donc {\dfrac{1}{\lambda_{n,k}-k}\sim\ln(n)}.

      Conclusion : {\lambda_{n,k}-k\sim\dfrac{1}{\ln(n)}} quand {n\to\infty}.