Les racines du polynôme dérivé

(Exercice d’oral Centrale Mp)
Pour tout {n} de {\mathbb{N}^*}, on pose : {P_{n}=\displaystyle\prod_{k=0}^{n}(X-k)\text{\ et\ }R_{n}=\dfrac{P_{n}'}{P_{n}}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{X-k}}

  1. Pour {n>k\ge 0}, montrer que {P'_{n}} a une unique racine {\lambda_{n,k}} dans {]k,k+1[}.
  2. On fixe la valeur de l’entier {k} (donc l’intervalle {]k,k+1[}).

    • Prouver que la suite {(\lambda_{n,k})_{n>k}} est strictement décroissante.
      On note {\ell_{k}=\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\lambda_{n,k}}.
    • Pour {n\ge k+1}, prouver : {\dfrac{1}{\lambda_{n,k}-k}>\displaystyle\sum_{j=1}^{n-k}\dfrac{1}{j}-\displaystyle\sum_{j=1}^{k}\dfrac{1}{j}}.
      En déduire {\ell_{k}=k}.
    • D’une manière analogue, majorer {\dfrac{1}{\lambda_{n,k}-k}} pour {n\ge k+2}.
      En déduire {\lambda_{n,k}-k\sim\dfrac{1}{\ln(n)}} quand {n\to+\infty}

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