Déterminant de la matrice des ppcm(i,j)

(Exercice d’oral Centrale Mp)
Exercice 1.
Pour {a\in\mathbb{N}^*}, soit {\begin{cases}\mathcal{P}_{a}\text{\ l'ensemble des diviseurs premiers de\ }a\\\mathcal{D}_{a}\text{\ l'ensemble des diviseurs positifs de\ }a\end{cases}}

On note {f(a)=\dfrac{1}{a}\displaystyle\prod_{p\in P_{a}}(1-p)} (en particulier {f(1)=1}), et {g(a)=\displaystyle\sum_{d\in \mathcal{D}_{a}}f(d)}.

On a ainsi défini deux applications {f} et {g} de {\mathbb{N}^*} dans {\mathbb{Q}}.

  1. Soient {a,b} dans {\mathbb{N}^*}, premiers entre eux.

    Que dire de {\mathcal{P}_{ab}} relativement à {\mathcal{P}_{a}} et {\mathcal{P}_{b}}?

    Montrer que {(d,\delta)\mapsto d\delta} est une bijection de {\mathcal{D}_{a}\times \mathcal{D}_{b}} sur {\mathcal{D}_{ab}}.

    Montrer que {f(ab)=f(a)f(b)}, puis que {g(ab)=g(a)g(b)}.

  2. Montrer que {g(a)=\dfrac1a} pour tout {a} de {\mathbb{N}^*}.

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  1. Soit {a\wedge b=1}, avec {a,b} dans {\mathbb{N}^*} : on a {\mathcal{P}_{a}\cap\mathcal{P}_{b}=\emptyset} et {\mathcal{P}_{a}\cup\mathcal{P}_{b}=\mathcal{P}_{ab}}.

    Si {c\mid ab}, la seule écriture c=d\delta avec {d\in\mathcal{D}_{a}} et {\delta\in\mathcal{D}_{b}} est {c=(c\wedge a)(c\wedge b)}.

    On en déduit d’une part : {\begin{array}{rl}f(ab)&=\dfrac{1}{ab}\displaystyle\prod_{p\in P_{ab}}(1-p)=\Bigl(\dfrac{1}{a}\displaystyle\prod_{p\in P_{a}}(1-p)\Bigr)\Bigl(\dfrac{1}{b}\displaystyle\prod_{p\in P_{b}}(1-p)\Bigr)\\\\&=f(a)f(b)\end{array}}D’autre part : {\begin{array}{rl}g(ab)&=\displaystyle\sum_{c\in \mathcal{D}_{ab}}f(c)=\displaystyle\sum_{d\mid a,\;\delta\mid b}f(d\delta)=\displaystyle\sum_{d\mid a,\;\delta\mid b}f(d)f(\delta)\\\\&=\Bigl(\displaystyle\sum_{d\mid a}f(d)\Bigr)\Bigl(\displaystyle\sum_{\delta\mid b}f(\delta)\Bigr)=g(a)g(b)\end{array}}

  2. Si {a=p^m} avec {p} premier et {m\in\mathbb{N}}, alors {\mathcal{D}_{a}=\{p^k,0\le k\le m\}}, donc :{\begin{array}{rl}g(a)&=\displaystyle\sum_{k=0}^{m}f(p^k)=1+\displaystyle\sum_{k=1}^{m}\dfrac{1-p}{p^k}\\\\&=1+\Bigl(\dfrac1{p^m}-1\Bigr)=\dfrac1{p^m}=\dfrac1a\end{array}}Cela se généralise à tout {a} de {\mathbb{N}^*} en utilisant la décomposition en facteurs premiers de {a} et la propriété {\;b\wedge c=1\Rightarrow g(bc)=g(b)g(c)\;}.

(Exercice d’oral Centrale Mp)
Exercice 2. (on utilise l’exercice 1)
Dans cet exercice, {n} est un entier strictement positif quelconque.

On reprend la définition de la fonction f, vue dans l’exercice 1.

Soit {M\in\mathcal{M}(\mathbb{R})}, avec {m_{i,j}=i\vee j} (le ppcm de {i} et {j}).

L’objectif est de déterminer une formule donnant {\det(M)} en fonction de {n}.

On définit les matrices {A,B,C,\Delta} suivantes dans {\mathcal{M}(\mathbb{R})}:

  • Les coefficients de {A} sont les {a_{i,j}=\dfrac{1}{i\wedge j}} ({i\wedge j} est le pgcd de {i,j}).
  • {B} est triangulaire supérieure : {b_{i,j}=f(i)} si {i\mid j}, et {b_{i,j}=0} sinon.
  • {C} est triangulaire inférieure : {c_{i,j}=1} si {j\mid i}, et {0} sinon.
  • {\Delta} est la matrice diagonale {\text{diag}(1,2,\ldots,n)}.
  1. Montrer que {M=\Delta A\Delta } et que {CB=A}.
  2. En déduire que {\det M=n!\displaystyle\prod_{a=1}^{n}(af(a))}.
  3. Montrer finalement que {\det M=n!\displaystyle\prod (1-p)^{[n/p]}}

    (le produit est ici étendu aux entiers premiers {p\le n}, la notation {[m]} désignant la partie entière d’un entier {m}).

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  1. Pour tout {(i,j)} de {\{1,\ldots,n\}^2} : {[\Delta A\Delta]_{i,j}=[\Delta]_{i,i}[A]_{i,j}[\Delta]_{j,j}= \dfrac{ij}{i\wedge j}=i\vee j=[M]_{i,j}}De même, en utilisant certains résultats de l’exercice 1 : {\begin{array}{rl}[CB]_{i,j}&=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}c_{i,k}b_{k,j}=\displaystyle\sum_{k\mid i}b_{k,j}=\displaystyle\sum_{k\mid i\wedge j}f(k)\\\\&=g(i\wedge j)=\dfrac1{i\wedge j}=[A]_{i,j}\end{array}}On a donc prouvé les égalités {\Delta A\Delta =M} et {CB=A}.
  2. Ces deux égalités donnent : {\det M=(\det A)(\det \Delta )^2=(\det B)(\det C)(\det \Delta )^2}On a bien sûr {\det \Delta =n!}, {\det B=\displaystyle\prod_{k=1}^{n}f(k)}, et {\det C=1}.

    On en déduit {\det M=(n!)^2\displaystyle\prod_{k=1}^{n}f(k)=n!\displaystyle\prod_{a=1}^{n}(af(a))}.

  3. Pour tout {a} de {\mathbb{N}^*}, on a : {af(a)=\displaystyle\prod_{p\in P_{a}}(1-p)}.

    Ainsi, {\det M=n!\displaystyle\prod_{a=1}^{n}\Bigl(\displaystyle\prod_{p\in P_{a}}(1-p)\Bigr)}.

    Autrement dit: {\det M=n!\displaystyle\prod (1-p)^{\beta_{p}}}, le produit étant étendu à l’ensemble des nombres premiers {p}, l’exposant {\beta_{p}} désignant le nombre d’entiers {[[ 1,n]]} qui sont multiples de {p}.

    On a bien sûr {\beta_{p}=0} si {p>n}, et {\beta_{p}=[n/p]} si {2\le p\le n}.

    Conclusion : {\det M=n!\displaystyle\prod (1-p)^{[n/p]}} (produit étendu aux entiers premiers {p\le n})