Déterminant de la matrice des ppcm(i,j)

(Exercice d’oral Centrale Mp)
Exercice 1.
Pour {a\in\mathbb{N}^*}, soit {\begin{cases}\mathcal{P}_{a}\text{\ l'ensemble des diviseurs premiers de\ }a\\\mathcal{D}_{a}\text{\ l'ensemble des diviseurs positifs de\ }a\end{cases}}

On note {f(a)=\dfrac{1}{a}\displaystyle\prod_{p\in P_{a}}(1-p)} (en particulier {f(1)=1}), et {g(a)=\displaystyle\sum_{d\in \mathcal{D}_{a}}f(d)}.

On a ainsi défini deux applications {f} et {g} de {\mathbb{N}^*} dans {\mathbb{Q}}.

  1. Soient {a,b} dans {\mathbb{N}^*}, premiers entre eux.

    Que dire de {\mathcal{P}_{ab}} relativement à {\mathcal{P}_{a}} et {\mathcal{P}_{b}}?

    Montrer que {(d,\delta)\mapsto d\delta} est une bijection de {\mathcal{D}_{a}\times \mathcal{D}_{b}} sur {\mathcal{D}_{ab}}.

    Montrer que {f(ab)=f(a)f(b)}, puis que {g(ab)=g(a)g(b)}.

  2. Montrer que {g(a)=\dfrac1a} pour tout {a} de {\mathbb{N}^*}.

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(Exercice d’oral Centrale Mp)
Exercice 2. (on utilise l’exercice 1)
Dans cet exercice, {n} est un entier strictement positif quelconque.

On reprend la définition de la fonction f, vue dans l’exercice 1.

Soit {M\in\mathcal{M}(\mathbb{R})}, avec {m_{i,j}=i\vee j} (le ppcm de {i} et {j}).

L’objectif est de déterminer une formule donnant {\det(M)} en fonction de {n}.

On définit les matrices {A,B,C,\Delta} suivantes dans {\mathcal{M}(\mathbb{R})}:

  • Les coefficients de {A} sont les {a_{i,j}=\dfrac{1}{i\wedge j}} ({i\wedge j} est le pgcd de {i,j}).
  • {B} est triangulaire supérieure : {b_{i,j}=f(i)} si {i\mid j}, et {b_{i,j}=0} sinon.
  • {C} est triangulaire inférieure : {c_{i,j}=1} si {j\mid i}, et {0} sinon.
  • {\Delta} est la matrice diagonale {\text{diag}(1,2,\ldots,n)}.
  1. Montrer que {M=\Delta A\Delta } et que {CB=A}.
  2. En déduire que {\det M=n!\displaystyle\prod_{a=1}^{n}(af(a))}.
  3. Montrer finalement que {\det M=n!\displaystyle\prod (1-p)^{[n/p]}}

    (le produit est ici étendu aux entiers premiers {p\le n}, la notation {[m]} désignant la partie entière d’un entier {m}).

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