Un endomorphisme symétrique de ℝn[X]

(Exercice d’oral Centrale Mp)
Dans tout le problème, {n\in\mathbb(N)} est donné.

On munit {\mathbb{R}_n[X]} du produit scalaire : {(A\mid B)=\displaystyle\int_0^1A(x)\,B(x)\,\text{d}x}Pour tous {P\in\mathbb{R}_n[X]} et {x\in\mathbb{R}}, on pose : {u_{n}(P)(x)=\displaystyle\int _0^1(x+t)^nP(t)\,\text{d}t}

  1. Montrer que {u_{n}} est un isomorphisme symétrique de {\mathbb{R}_n[X]}
  2. Soit {\lambda_{0},\ldots,\lambda_{n}} les valeurs propres de {u_{n}}.

    Soit {(P_0,\ldots ,P_n)} une b.o.n. de diagonalisation de {u_{n}} ({P_i} correspond à {\lambda_i}).

    Avec {Q_{t}=(X+t)^{n}}, montrer que : {Q_{t}=\displaystyle\sum_{k=0}^n\lambda_k P_k(t)P_k}En déduire que {\text{tr}(u_{n})=\dfrac{2^n}{n+1}}.

    Comment aurait-on pu l’obtenir directement?

  3. Montrer que :{\text{tr}(u_{n}^2)\!=\!\displaystyle\int _0^1\!\|Q_t\|^2\,\text{d}t\!=\!\dfrac{2^{2n+1}-1}{(n+1)(2n+1)}}

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