Techniques d’analyse (4/6)

Dans la suite de ce chapitre, on considère essentiellement des fonctions numériques définies sur un intervalle {I} non vide et non réduit à un point (on dit aussi « intervalle d’intérieur non vide »).

Dans le cas fréquent d’une fonction définie sur une réunion d’intervalles disjoints, on se ramène au cas précédent en étudiant la restriction de {f} à chacun de ces intervalles.

Dans ce chapitre, la notion de « fonction continue » (en un point, et plus généralement sur un intervalle) est supposée connue (on se réfèrera au cours de Terminale S).

On se contentera donc pour l’instant d’une approche intuitive de la continuité (la faculté de pouvoir tracer la courbe représentative « sans lever le crayon »).

Les fonctions usuelles (fonctions puissances, trigonométriques, exponentielle, logarithme, etc.) sont continues sur leur domaine (la fonction « partie entière » est une exception notable).

Les deux énoncés suivants permettent donc d’affirmer la continuité d’une fonction numérique définie comme un « cocktail » de fonctions usuelles.

Soit {f} et {g} deux fonctions continues sur l’intervalle {I}.
Alors les fonctions {\alpha f+\beta g} et {fg} sont continues sur {I}.
Si {g} ne s’annule pas sur {I}, alors les fonctions {\dfrac{1}{g}} et {\dfrac{f}{g}} sont continues sur {I}.

Soit {f:I\to\mathbb{R}} et {g:J\to\mathbb{R}} deux fonctions continues, avec {f(I)\subset J}.
Alors la fonction {g\circ f} est continue sur {I}.